高等代数（II）期末考试试卷及答案（A卷）一、填空题（每小题3分，共15分）????????Lx1L1?xxP、线性空间的两个子空间的交1?????????,...,,,...,,是n维线性空间2、设V的两个基，与n21n12?????????,...,,,...,,的过渡矩阵是由C，列向量X是到Vn12n12?????????,...,,,...,,??下在基下的坐标，则中向量在基n12n21的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是??2???,?1,1,3的个行列式因子分别为：4、设3阶方阵A?E?A的标准形是则其特征矩阵AX?B的最小二乘解所满足的线性方程组是：5、线性方程组二、单项选择题（每小题3分，共15分））复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个1、（线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D）复数域C作为复数域C上的线性空间。）设?是非零线性空间V（2、的线性变换，则下列命题正确的是：（A）?的核是零子空间的充要条件是?是满射；??是满射；?的充要条件是V的核是?）B（．（C）?的值域是零子空间的充要条件是?是满射；?（D）?的值域是V的充要条件是?是满射。????A??可逆的充要条件是：3、（）矩阵??????????A0;BA?A是一个非零常数；??????????ACDA是方阵。是满秩的；?AXf?X）设实二次型4A为对称阵）经正交变换后化为：、（（???,...,222???yy...??y?是：则其中的，n21n2121n????????DAB?1;C不确定。是全是正数；A的所有特征值；?2”，则A的若当）设3阶实对称矩阵A5、（有三重特征根“标准形是：?200?200?200??????????????????;0?20AC1;B?2;01?20????????????2?00?221?000????????D以上各情形皆有可能。三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”）??0V?V的子空间，且n、（）设V，V均是维线性空间V12121?VV?V。则21）n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下2、（的矩阵是一对角矩阵。??E?BE?A3、（A）同阶方阵与B相似的充要条件是与等价。）n（维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。、4）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。（、5．四、解答题（每小题10分，共30分）4P中，定义线性变换：1、在线性空间???????????4Pd?a,b,a,ba?c,b?d,Ada,b,c,c,??????????0,1,0,0?,1,0,0,0?在自然基：?（1）求该线性变换21????????0,0,0,1?0,0,1,0,?下的矩阵A；43（2）求矩阵A的所有特征值和特征向量。??2??????xP1,I?:1,xx?1到基）求线性空间中从基2、（132??????1,?:1,x?1IIx的过渡矩阵；????2xPx3x??1?f2x在基中向量）求线性空间（232??????1?,I:1,xx?1下的坐标。??????b,b???aa,,2，规定二元函数：3、在R中，2211?????ab?ab?ab?,4ab212111222的一个内积。证明：这是R）（12的一个标准正交基。R求2（）五、证明题（每小题10分，共30分）3的两个子空间分别为：设P1、????????0??x?x,,xx??Wx,x,xxx??x,0Wx?x312231123122313WW?P?）1证明：（；21W?W（）2不是直和。21?????,...,,LW?V是数域P上线性空间的线性变换，证明?2、设r12???,,1,ri?2A?W...的不变子空间的兖要条件是?是iE?A级正定矩阵，证明：n是、已知3．（1）A是正定矩阵；n3E?A?2）（2答案一、填空题（每小题3分，共15分）????????0?x1??Lx1LxP1、线性空间的两个子空间的交?????????,...,,,...,,是2n维线性空间V与、设的两个基，n21n21?????????,...,,,...,,的过渡矩阵是C，列向量到由X是Vn12n12?????????,...,,,...,,??下在基在基下的坐标，则中向量n21n21?1XC的坐标是3、设A、B是n维线性空间V的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A与B的关系是相似关系??2???,,,1?13A的个行列式因子分别为：34、设阶方阵010?????00?AE???的标准形是则其特征矩阵??????1?00??AX?B的最小二乘解所满足的线性方程组是：、线性方程组5??A?ABAX二、单项选择题（每小题3分，共15分）A上的线性空间可与下列哪一个R作为实数域C）复数域（、2．线性空间同构：（A）数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B）数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C）数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空...