常系数线性微分方程的解法综述(河西学院数学与应用数学专业行2班，甘肃张掖734000)摘要在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视是一部分，因此线性微分方程的解法就显得相当重要了.本文概括了求解线性微分方程的方法.关键词常系数；复值函数；复值解；欧拉方程0175.1从理论上说，线性微分方程的通解的结构问题可以认为已经解决了，但是求方程通解的方法还没有具体给出•事实上，对于一-般的线性微分方程是没有普遍的解法的•本章主要介绍求解问题能够彻底解决的一类方程----常系数线性微分方程及可以化为这一类型的方程•为了求得常系数齐次线性微分方程的通解，只须解一个代数方程而不必通过积分运算.1预备知识1.1几个定义定义1〃阶线性微分方程//nXdxdx—+ax(r)--------+…+ai⑴——+a(r)x=fit),(1)dtn1dtn'xn~xdt八其q乜eayi?,...’)及/⑴都是区间a<t<b上的连续函数.//nXd天dx—-+a】(r)------+…+a](/)——+a(t)x=0,(2)dtn1H~]dt“称(2)为〃阶齐次线性微分方程，简称为齐次线性微分方程，而称一•般的方程(1)为宛阶非齐次线性微分方程，简称为非齐次线性微分方程，并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性微分方程.定义2如果对于区间a<t<bl\l的每一•实数f,有复数=0⑴+沖⑴与它对应，其中炉⑴和％⑴是在区间a<t<b±定义的实函数，心口是虚数单位,就说在区方JL给定一个复值函数z(f)•如果实函数0(/),0(f)半/趋于心吋有极限，就称复值函数Z⑴当/趋于『°时有极限，并且定义limz(Q=lim0(/)+zlim0(/)ToTo如果limz(r)=z(r0)，就称z⑴在/()连续•显然，z(f)在/()连续相当于0(0，0⑴在厶⑴三d,l~xx------r+…+Q“|〃严"Tr0连续.当z（t）在区间a<t<b上每一点都连续时，就称z（r）在区间a<t<b上连续•如果极限1加"一如存在，就称込⑴在心处有导数（可微）•且记此极限ft-tQ空3或者畑.显然z«）在山处有导数相当于0⑴，肖⑴在心处有导数,且at虫仏）=|/0仏）dtdtdt如果萸）在区间a<t<b±每点都有导数，就称萸）在区间a<t<b±有导数.定义于区间a<t<b±的实变量复值函数x=z（r）称为方程（1）的复值解.2.1几个定理定理1设方程（1）中所有系数匕⑴都是实值函数且/（r）=0,若z（/）=0（r）+i0（/）是方程的复值解,则z（t）是实部0（/）和虚部肖⑴以及z（r）的共轨讀)也都是方程(1)的解.定理2设石⑴与兀2⑴分别是非齐次线性方程dnxd"]xdx乔+坷⑴-^主题+…+an-l⑴—+an(f)兀=/1a)和dnxdn~}xdx+%⑴+…+%(o—+勺a)x=/2(o的解，贝ijx1(r)+x2(r)是方程dnxdn~'xdx百+%⑴R+...+%⑴〒+%(『)*〃)+//)dtdtdt的解.2齐次线性微分方程的解法2.1欧拉待定指数函数法〃阶常系数齐次线性微分方程其中q卫2…•，色为常数•对于方程⑴）去试求指数函数形式的解其中久是待定常数，可以是实的，也可以是复的.方程（4）为方程（3）的解的充要条件是2是代数方程F(2)三X+1+…++cin=0(5)的根•因此，方程（5）将起着预示方程（3）的解的特性的作用，就称它为方程（3）的特征方程，它的根就称为特征根.2.1.1特征根是单根的情形设入,…，人是方程（5）的〃个彼此不相等的根，则相应地，方程（3）都有如下〃个解:(6)指出这“个解在区间a<t<b±线性无关，从而组成方程（3）事实上，的杲本解组.Anten—”凡+心+・・・+，"?n-1jn-1?n-1AZ2••-An最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde）行列式，它等于由于假设A^/i.（当心丿吋），故此行列式不等于零，从而有W沁,戶,...,/业0,于是解组（6）线性无关.若如心1,2,・・・加均为实数，则解组（6）是方程（3）的〃个线性无关的实值解，则方程(3)的通解为x(Z)=c}eAil+c2eA-+...+cneA,,t其111C|,・・・,C“为任意常数.若（心1,2,…/）小有复数，则因方程系数是实系数，复根将成对共轨出现.设入=a+i0是特征根，则=a-i（3也是特征根，方程（3）对应的两个复值解为dnx+adtncT'x~dt^dkxIF=0.严+/"_e»f(cospt+isin,严-妙=严（cos0f—isin0f）.由定理1知道它们的实部和虚部也是方程的解，这样一来，对应于特征方程的一对共轨复根为^=a±i/3,由此求得方程（3）的两个实值解为e（xtcos0『，严sinJ3t.2.1.2特征根有重根的情形设特征方程有R重根2=入,则有F（入）=FQ）=F（k...