§11拋物線(甲)拋物線的定義與基本性質(1)定義：設平面上有一定直線L及不在直線上一定點F，則在此平面上所有到直線的距離等於到焦點F的動點P所形成的圖形稱為拋物線。(2)名詞介紹(a)直線L稱為準線，F點稱為焦點。(b)過焦點垂直準線的直線M稱為對稱軸(簡稱)軸(c)對稱軸與拋物線的交點V稱為頂點，VF稱為焦距。(d)拋物線上兩點的連線段稱為弦，過焦點的弦稱為焦弦。垂直對稱軸的焦弦P1P2稱為正焦弦。(3)拋物線的基本性質：(a)設對稱軸與準線的交點為A，則頂點V為(的中點。[說明]：因為V為拋物線上的點，VF=d(V,L)=AV所以V為(的中點。(b)拋物線的正焦弦長為焦距的4倍。[說明]：因為P1P2=2P1F，且P1F=d(P1,L)=AF=2VF所以正焦弦長P1P2=4VF。[例題1]在座標平面上，設是以F(3,1)為焦點，L：xy+1=0為準線的拋物線，求(1)的頂點。(2)的對稱軸方程式。(3)正焦弦長(4)的方程式Ans：(1)(,)(2)x+y2=0(3)5(4)x2+2xy+y214x+6y+19=0(練習1)設拋物線以L為準線，F為焦點，在L上任取一點Q，過點Q作直線L的垂線N，再作(的中垂線交直線N於P，請證明P點在拋物線上，並藉此說明拋物線沒有界限。(練習2)關於方程式||=所代表的錐線圖形，下列何者為真？(A)為拋物線(B)(1,2)為的焦點(C)3x+y19=0為的漸近線(D)x3y+7=0為的對稱軸(E)(3,1)是的頂點。Ans：(A)(D)(練習3)若一拋物線以F(1,1)為焦點，L：x+y+2=0為準線，求(1)拋物線的方程式(2)對稱軸方程式(3)正焦弦長(4)頂點坐標Ans：(1)x22xy+y28x8y=0(2)xy=0(3)4(4)(0,0)(練習4)設一拋物線之頂點V(1,2)，準線L之方程式x+y+6=0，求其焦點坐標。Ans：(,)(乙)拋物線的標準式LNPFQFV(1)設拋物線的焦點F為(c,0)、準線L：x+c=0，則的方程式為y2=4cx。設P(x,y)為上任意點，根據定義PF=d(P,L)可得=|x+c|(xc)2+y2=(x+c)2y2=4cx。性質：(a)c>0，開口向右；c<0，開口向左。(b)焦距=|c|，正焦弦長=4|c|。(2)設拋物線的焦點F為(0,c)、準線L：y+c=0，則的方程式為x2=4cy。設P(x,y)為上任意點，根據定義PF=d(P,L)可得=|y+c|x2+(yc)2=(y+c)2x2=4cy。性質：(a)c>0，開口向上；c<0，開口向下。(b)焦距=|c|，正焦弦長=4|c|。例子：拋物線的標準式y28x=0，求拋物線的(1)對稱軸(2)頂點(3)焦點(4)準線(5)正焦弦長Ans：(1)y=0(2)O(0,0)(3)F(2,0)(4)Lx+2=0(5)81.方程式一次項的變量為x一次項的變量為yy2=4cx(c0)y2=4cx(c0)x2=4cy(c0)x2=4cy(c0)2.圖形(一次項正負號，定開口)3.對稱軸(二次)4.頂點5.焦點6.準線7.焦距8.正焦弦長任一標準式所表拋物線的正焦弦長都是|4c|，今以y2=4cx(c0)為例，證明如下：9.常用公式常數c與F,V的關係|c|=VF例子：將拋物線：y2=6x沿著向量\o(→=(3,2)平行移動得到一個新的拋物線/，試求/的方程式。[解答]：(1)設/上的任一點Q(x/,y/)，因為Q(x/,y/)沿向量\o(→=(3,2)可得P(x,y)在上，即xx/=3，yy/=2x=x/3，y/=y2(y/2)2=6(x/3)。因此/的方程式為(y2)2=6(x3)。(2)考慮的頂點(0,0)、焦點(,0)、正焦弦長=6、對稱軸y=0、準線x=。考慮/的頂點(3,2)、焦點(+3,2)、正焦弦長=6、對稱軸y=3、準線x=+3。(3)由(1)(2)，可以得知就點坐標、方程式而言，形式會改變，但正焦弦長不變。一般而言，方程式f(x,y)=0的圖形沿向量\o(→=(h,k)平移，所得的圖形的方程式為f(xh,yk)=0。(即原先的x,y用xh,yk來取代)將頂點(0,0)平移至頂點(h,k)的拋物線平移標準式1.方程式一次項的變量為x(_________)一次項的變量為y(_________)(yk)2=4c(xh)c0(yk)2=4c(xh)c0(xh)2=4c(yk)c0(xh)2=4c(yk)c02.圖形(一次項正負號定開口)3.對稱軸(二次)4.頂點5.焦點6.準線7.焦距8.正焦弦長[例題2]求拋物線x28x+3y+10=0的(1)對稱軸(2)頂點(3)焦點(4)準線(5)正焦弦長(6)圖形Ans：(1)x4=0(2)V(4,2)(3)F(4,)(4)y=0(5)3(練習5)證明方程式f(x,y)=0的圖形沿向量\o(→=(h,k)平移，所得的圖形的方程式為f(xh,yk)=0。(請參考1-1-4的例子)(練習6)拋物線y2－4x－2y－7＝0，下列何者正確？(A)開口向上(B)頂點(－2，1)(C)正焦弦長＝4(D)...