《度规的意义》第5稿王小舟齐齐哈尔广播电视大学黑龙江齐齐哈尔（161005）E-mail:wangxiaozhou168@163摘要：本文以数轴为工具定义了度规和度规积分的概念，同时证明了在一定条件下度规积分与黎曼积分等价。度规微积分的理论是重新严格定义了的“十七世纪的微积分”，它解决了困扰了莱布尼兹一生的“无穷小量”问题——莱布尼兹猜想。微分和积分运算是除法和乘法运算的拓展，微积分是人类历史上继掌握了数数、加减法、乘除法之后的第四次关于度量的里程碑式的重大进步。在人类的教育中，微积分作为关于度量的运算应当与四则运算一样被普及。将来，微积分会下放到中学去讲授，度规微积分会因为它的直观和简洁而成为教材中定义的主流形式。关键词：度规；微积分；度规积分；无穷小量；莱布尼兹猜想；柯西方案；宇宙大爆炸：o172；文献标识码：A1.引言一个理论的完美，重要的要素是对理论解释的简洁。我认为目前的微积分理论很美，但是还不够完美。在现代数学分析教科书中，定积分的几何解释是曲边梯形的面积，导数是切线的斜率，如果把求定积分的运算称为积分运算，把求导数的运算称为微分运算，这个解释看不出求积分和求微分作为互逆运算有什么明显的联系。微积分的理论在人类认知大自然过程中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论不可能把人送上月球，也不可能把探测器送上火星。微积分的理论在数学结构中具有特殊的重要意义，没有微积分的理论许多数学分支将失去基础。一个事物可以从多个角度去观察和研究，本文将从不同于现代数学分析教科书的另一个角度去定义微分和定积分，在给出微积分理论简洁解释的同时也完成了莱布尼兹(Leibniz)终身都在思考的“无穷小量”问题（莱布尼兹猜想）。2.实数轴我们承认实数轴的存在，并认为实数轴是对直线度量的结果。实数轴上的点与实数是一一对应的。在一条直线上定义了原点、度量方向和单位长度以后，由欧几里得几何的尺规概念可以确定实数轴上所有的有理点，由实数理论则可以定义实数轴上的所有无理点。[1]p82－83p84－91[6]p11－24在一条直线上定义了不同的原点、度量方向和单位长度会定义出不同的实数轴。所有的实数轴组成一个集合QR。QR中的实数轴y简称为数轴y或y轴。定义1：把一个已知数轴上的点所对应的实数称为这个点在这个数轴上的名称。实数是实数集合的一个元素也表示数轴上的一个点，一个连续的实数的集合也表示数轴上连续的点的集合。数轴上连续的点的集合是一个有方向的直线、射线或线段。以后我们可以用实数集合的区间符号表示数轴上点的集合。定义2：y轴上的点的集合称为y轴上的一个向量，记做。上面向量符号可以表示点的集合也可以表示向量的大小和方向。为了节约篇幅和便于读者理解，暂时不讨论负向量。3.度规度规微分度规积分度规导数变度规实数轴定义3：度量y轴时所用的单位长度和方向称为y轴的度规，记做Dy。于是＝。在度量y轴时Dy不变，称Dy为常度规，y轴为常度规数轴。对y轴的度量可以表述为。在y轴上可以推出(1)(常度规实数轴的积分公式)于是有(2)(常度规实数轴的微分公式)公式（1）和公式（2）揭示了实数轴上度规和向量关系的本质。公式（1）是已知度规求向量的问题，我们称作常度规实数轴的积分问题。公式(1)称为常度规实数轴的积分公式。公式（2）是已知向量求度规的问题，我们称作常度规实数轴的微分问题。公式(2)称为常度规实数轴的微分公式。我们把积分公式和微分公式合在一起统称为微积分基本公式。积分公式（1）是一个乘法运算，微分公式（2）是一个除法运算。下面有两个例子。例1：已知y轴上Dy＝1cm则＝（5－3）×1cm＝2cm例2：已知＝2光年则Dz＝2光年/(3.001－3)＝2000光年数轴上一个很小的向量就可以求出度规，或者说知道一个点a与邻近点的向量就可以求出度规，这被称为度规的微分性质。用数学语言描述就是：对任意的λ＞0有(2′)(常度规实数轴的微分公式)定义4：有无穷个度规供我们选择，我们选定其中的一个称为单位度规，它的向量定义为1。记做Dx，即Dx=1。由单位度规确定的数轴我们称为单位数轴或x轴。在欧几里得几何学上通常用英文字母为点命名，同时认为点是没有大小和方向的，这样的点我们称为欧几...