一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式222)a?0?c?0(axbx?c?0(a?0)?bx?axac?4b的一元二次方程叫做一元二次方程中，2ac4b????”来表示，即根的判别式，通常用“个不相等的实数根；时，一元二次方程有2（1）当△>0个相等的实数根；时，一元二次方程有2（2）当△=0.时，一元二次方程没有实数根）当△<0（3要点诠释：cb.a,②确定①把一元二次方程化为一般形式；利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：22acacb?4b?4.的值；④根据的值；③计算的符号判定方程根的情况一元二次方程根的判别式的逆用2.??20?a?c?0ax?bx在方程中，?2ac4b?；﹥0）方程有两个不相等的实数根（1?2ac?b4=0；（2）方程有两个相等的实数根?2ac?4b0.3（）方程没有实数根﹤要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；2ac4b?0.≥2）若一元二次方程有两个实数根则（知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系2x，x)?(???axbxc0a0，如果一元二次方程的两个实数根是21．bcxxx???x?.那么，2121aa注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x、x的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些21重要变形；如：222x?x?(x?x)?2xx；①221211x?x1121??；②xxxx221122xx?xx?xx(x?x)；③21212211222xxx?x?2xx)(x?x21212121???；④xxxxxx21221122(x?x)?(x?x)?4xx；⑤2121122?xx?k(x?x)?k))(x?k(x?k；⑥22112122xx)?4x)?(x?xx|x?x|?(?⑦；22221111222xx)x??2xx(x?11221112???⑧；22222)xxxxxx(22121122xxx)?4x(x?x)??(??xx??；⑨221112212222?2xx?2)(x?x|xx||)|(|x|||x?|x??|x+2?x?x|x|x?．⑩22211111122221(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；.以两个数为根的一元二次方程是(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.20)??c0(a?axbx?xx，则设一元二次方程的两根为、210?xx①当△≥时，两根同号．0且21．xx?0x?x?0时，两根同为正数；，当△≥0且2112xx?0x?x?0时，两根同为负数．，当△≥0且2211xx?0时，两根异号．且②当△＞021xx?0x?x?0时，两根异号且正根的绝对值较大；且，当△＞02211xx?0x?x?0时，两根异号且负根的绝对值较大．，当△＞0且2112要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往?往利用这一点设置陷阱；，则必有一根（，2为有理数））若有理系数一元二次方程有一根．（bb?a?aba【典型例题】类型一、的应用一元二次方程根的判别式1．不解方程，判断下列方程的根的情况：22+bx=0(a≠0)2x+3x-4=0(2)ax(1)【答案与解析】2+3x-4=0(1)2xa=2,b=3,c=-4,22-4)=41>04×2×( Δ=b-4ac=3-.∴方程有两个不相等的实数根(2) a≠0,∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，22,-4·a·0=bΔ =b2 无论b取任何关数，b均为非负数，.故方程有两个实数根≥0，∴Δ2acb?4.根据的符号判定方程根的情况【总结升华】举一反三：】12：判别含字母系数的方程根的情况---例（）（播放点名称）388522ID【高清号：关联的位置名称22?x1aax???0.】不解方程，判别方程根的情况：【变式.无实根【答案】．2的k1）x﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数2．（2015?本溪）关于x的一元二次方程（k﹣．取值范围...