草坪浇灌系统最优设置李汇腾庄思发方创彬(韶关学院数学系,广东韶关512005)[摘要]:草坪浇灌系统设置是一个最优化问提.首先对模型进行简化,将平面中喷头的设置问题简化为小区域内三个喷头的设置问题.将三个喷头作为三角形的顶点,以该三角形的最大面积为目标函数,结合相关约束条件构造出一个非线性规划模型,运用数学软件寻找出最优值,解决了小区域草坪覆盖问题的最优设置,并讨论了小区域的最优设置对大区域适用性,最后的得出了将喷头放置在正三角形格点上是草坪浇灌系统的最优设置.计算得出的饿有效利用率是82.7%,关键词:非线性规划;优化设置;浇灌系统:0224文献标识码:A:1007—5348(2003)增—0147—031问题的提出学校或社区的草坪常常安装着一些旋转喷头进行浇灌,每一个喷头可以使其为圆心的一个圆域的草坪得到浇灌.喷头浇灌存在着不均匀性,如有的地方浇不到水.对于给定的草坪面积以及喷头圆域的大小,人们常把喷头放在正方形格点上来覆盖草坪.这一方案不是最优的.试设计喷头放置方案,使所有圆域覆盖草坪,且重叠部分最少(或喷头最少),并给出方案最优性的证明.2模型的假使(1)草坪面积S远大于,可以将其看作一个平面而不必考虑其具体形状.(2)喷头浇灌面积为一半径r的圆域.(3)每个喷头在其浇灌的区域内浇水是均匀的.(4)草坪每一处的所需浇水量原则上是一样的.3问题的分析本题的目的是要设计一种喷头放置方案,使所有圆域覆盖草坪,且重叠部分最少或喷头最少.把喷头的设置看成是分布在平面上的离散点,可以将相互最接近的三个点作为某个三角形的三个顶点(对于离散点分布在一条直线上的特殊情况不予考虑),那么平面就可看成是这一个三角形组成的,而喷头就放置在这些三角形的顶点处.要使覆盖平面的喷头数目最少,即是要使三角形的数目最少,也就是要使每个三角形的面积尽量大.于是问题就转化为求以三个喷头为顶点的最大三角形,同时需证明用该三角形就可以覆盖整个平面.4模型的建立﹑求解定义:选定平面中的某两个离散点A和B,使A到B的距离不大于第三点到A或B的距离,如果平面中存在另一离散点C,使ΔABC的外接圆半径达到最小,就说点A,B,C为相互最接近的三个点.定理1:取平面上不在同一直线的三个点A,B,C,作其外接圆O,设圆O的半径为R,在圆O中取一点D,使DA≥AB,DB≥AB,那么ΔABC的外接圆的半径r≤R.证明:构造点A,B,C,作其外接圆O,在圆O中取一点D,DA≥AB,DB≥AB(A,B,D形成相互最接近的三个点).接连AD并延长AD交圆于E点,作圆O的弦AB,AE的垂直平分线MO,NO,作AD的垂直平分线P交直线AE,MO于P,,根据外接圆的性质，点就是ΔABD的外接圆圆心(如图1).当DA=AB时,如果D在圆周上,此时∠ＤＡＢ＝达到最大，刚好在Ｏ的位置上；如果Ｄ在ＯＭ上，此时∠ＤＡＢ＝达到最小，刚好在等边三角形ＡＢＤ的重心上．当＜∠ＤＡＢ＜时，点在Ｏ与之间移动． ＡＤ≤ＡＥ，Ｐ垂直平分ＡＤ，ＯＮ垂直平分ＡＥ．∴∥ON,AP≤AN∴Ｍ≤ＭＯ∴Ａ≤ＯＡ，既r≤Ｒ.证毕．定理２：在被半径为r的圆域覆盖的平面上，相互最接近的三个圆心的外接圆半径Ｒ≤r．证明：如图２，将各个圆域的圆心看作离散点，取平面上两点Ａ和Ｂ，使Ａ和Ｂ之间的距离不大于第三点到Ａ或Ｂ的距离．因为Ｂ是离Ａ最近的点，只有当ＡＢ≤２r时圆Ａ与圆Ｂ相交于点Ｃ，ＣＡ＝ＣＢ＝r，以Ｃ为圆心作半径为r圆，设圆Ｄ覆盖了点Ｃ处未被覆盖的区域，那么圆心Ｄ必须在圆Ｃ内，且ＤＡ≥ＡＢ，ＤＢ≥ＡＢ，由定理１可知，ΔABC的外接圆半径Ｒ≤r，所以Ｄ在圆C中某个位置可使Ｒ达到最小，由相互最接近的定义可知，此时圆心Ａ，Ｂ，Ｄ构成相互最接近的三点．对于相互最接近的三个喷头Ａ，Ｂ，Ｃ组成的三角形ΔＡＢＣ，可以做出它的外接圆圆心Ｏ，由定理2可知O的半径R应满足Ｒ≤r.如图3,记∠ABO=,∠ACO=,∠CBO=由OA=OB=OC=R,三角形内角和为,可得:2+2+2=即++=/2作点O到AB的垂线,垂点为P,对于等腰ΔABO,有:AP=AB/2=Rcos()OP=Rsin()所以=cos()sin()同理,可求得:=cos()sin()=cos()sin()对于ΔABC,有:=++即=(cos()sin()+cos()sin()+cos()sin())构造如下模型:max=(cos()sin()+cos()sin()+cos()sin())s.t.(1)0<Rr(2)++=/2(2)>0,>0,>0注(2)式中的r可以用单位长度1代替.图4ABCP图3O用数学软件编程...