第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的标准方程与几何性质1,5,10抛物线的定义及其应用2,3抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用7,9,11直线与抛物线位置关系4,6,8,12基础对点练(建议用时:25分钟)1.(2018·重庆九校一模)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于(B)(A)(B)(C)(D)1解析:根据题意,抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则有2=2p×12,解得p=1,则抛物线的方程为y=2x2,其标准方程为x2=y,其焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,该抛物线的焦点到准线的距离等于.故选B.2.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是(B)(A)4(B)5(C)6(D)7解析:依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.故选B.3.(2018·湖北普通高中协作体高三联考)抛物线y2=8x的焦点为F,在该抛物线上存在一组点列P1(x1,y1),P2(x2,y2)…P2017(x2017,y2017),使得|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051,则++…+等于(D)(A)10085(B)16128(C)12102(D)16136解析:抛物线的准线方程为x=-2,由抛物线的性质可知|P1F|=x1+2,|P2F|=x2+2,…,|P2017F|=x2017+2,因为|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051,所以x1+x2+…+x2017=6051-2×2017=2017,所以++…+=8x1+8x2+…+8x2017=8(x1+x2+…+x2017)=8×2017=16136.选D.4.如图所示,O是坐标原点,三个正方形OABC,BDEF,EGHI的顶点中,O,A,C,D,F,G,I七个点都在抛物线y2=2px(p>0)上,另外,B,E,H三个点都在x轴上,则这三个正方形的面积之比为(B)(A)1∶2∶3(B)1∶4∶9(C)2∶3∶4(D)4∶9∶16解析:直线OC的方程为y=x,与抛物线方程联立可得C(2p,2p),所以B(4p,0).直线BF的方程为y=x-4p,与抛物线方程联立可得F(8p,4p),所以E(12p,0),同理H(24p,0).所以|OB|=4p,|BE|=8p,|EH|=12p,所以这三个正方形的面积之比为1∶4∶9,故选B.5.已知F为抛物线y2=4x的焦点,P为抛物线上的动点,点D的坐标为(2,0),则·的最小值为(B)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意得F(1,0),设P(x0,y0)(x0≥0),则=4x0,·=(2-x0,-y0)·(1-x0,-y0)=+-3x0+2=+x0+2=(x0+)2+,因为x0≥0,所以当x0=0时,·取得最小值2.选B.6.(2018·江西六校4月联考)已知抛物线C:y2=2x,过焦点F且斜率为的直线与C交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的射影分别为M,N两点,则S△MFN等于(B)(A)8(B)2(C)4(D)8解析:由题意可得直线PQ:y=(x-)=x-,与抛物线方程y2=2x联立,得(x-)2=2x,即3x2-5x+=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,所以|PQ|=x1+x2+p=+=,所以|MN|=|PQ|sin=4,所以S△MNF=×4×=2.故选B.7.(2018·洛阳市统考)已知F是抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点,曲线C2是以F为圆心,为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C1,C2,从上到下依次相交于点A,B,C,D,则等于(A)(A)16(B)4(C)(D)解析:因为直线4x-3y-2p=0过C1的焦点F(C2的圆心),故|BF|=|CF|=,所以=.由抛物线的定义得|AF|-=xA,|DF|-=xD.由整理得8x2-17px+2p2=0,即(8x-p)(x-2p)=0,可得xA=2p,xD=,故===16.故选A.8.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q(-1,),与C交于点P,则点P的坐标为.解析:由题意,得抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0).设E(-1,y),因为PQ为EF的垂直平分线,所以|EQ|=|FQ|,即y-=,解得y=4,所以kEF==-2,kPQ=,所以直线PQ的方程为y-=(x+1),即x-2y+4=0.由解得即点P的坐标为(4,4).答案:(4,4)能力提升练(建议用时:25分钟)9.(2018·河南百校联盟4月联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,且|MO|=|MF|=(O为坐标原点),则·等于(A)(A)-(B)(C)(D)-解析:不妨设M(m,)(m>0),易知抛物线C的焦点F的坐标为(,0),因为|MO|=|MF|=,所以解得m=,p=2,所以=(,),=(,-),所以·=-2=-.故选A.10.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点,则=.解析:由条件知C(,-a),点F(+b,b).因为C,F两点都在y2=2px上,所以即a2-b2+2ab=0.因为()2--1=0.所以=1+或=1-.又0<a<b,所以=+1.答案:+111.(2018·湖北省四校联考)已知点F是抛物线C:y2=...