2022年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若z＝﹣1+❑√3i，则zzz−1=¿（）A．﹣1+❑√3iB．﹣1−❑√3iC．−13+❑√33iD．−13−❑√33i2．（5分）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．（5分）设全集U＝{2﹣，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{1﹣，2}，B＝{x|x24﹣x+3＝0}，则∁U（A∪B）＝（）A．{1，3}B．{0，3}C．{2﹣，1}D．{2﹣，0}4．（5分）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A．8B．12C．16D．205．（5分）函数y＝（3x3﹣﹣x）cosx在区间[−π2，π2]的图像大致为（）A．B．C．D．6．（5分）当x＝1时，函数f（x）＝alnx+bx取得最大值﹣2，则f′（2）＝（）A．﹣1B．−12C．12D．17．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（）A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°8．（5分）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，^AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在^AB上，CD⊥AB．“会圆术”给出^AB的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+CD2OA．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（）A．11−3❑√32B．11−4❑√32C．9−3❑√32D．9−4❑√329．（5分）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=¿2，则V甲V乙=¿（）A．❑√5B．2❑√2C．❑√10D．5❑√10410．（5分）椭圆C：x2a2+y2b2=¿1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．❑√32B．❑√22C．12D．1311．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53，136）B．[53，196）C．（136，83]D．（136，196]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）设向量a→，b→的夹角的余弦值为13，且|a→|＝1，|b→|＝3，则（2a→+b→）•b→=¿．14．（5分）若双曲线y2−x2m2=¿1（m＞0）的渐近线与圆x2+y24﹣y+3＝0相切，则m＝．15．（5分）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．16．（5分）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当ACAB取得最小值时，BD＝．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn+¿n＝2an+1．（1）证明：{an}是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP¿❑√3．（1）证明：BD⊥PA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值．19．（12分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．20．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3．（1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α...