6.3.1平面向量的基本定理导学案编写：廖云波初审：孙锐终审：孙锐廖云波【学习目标】1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【自主学习】知识点1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．知识点2两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.【合作探究】探究一基底的概念【例1】下面说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a和一组基底e1，e2，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．A．②④B．②③④C．①③D．①③④[答案]B[解析]因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.【练习1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2[答案]B解析：在B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)(6∥e1－8e2)．所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．探究二用基底表示向量【例2】如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交于点P，用向量a、b表示OP.[答案]OP＝a＋b.[分析]利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.[解] OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，设MP＝mMB，NP＝nNA，则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na. a与b不共线，∴∴∴OP＝a＋b.归纳总结：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.【练习2】如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB＝a，AD＝b，试以{a，b}为基底表示DE、BF.[答案]DE=a－b;BF＝b－a解： 四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴AD＝BC＝2BE，CD＝BA＝2CF，∴BE＝AD＝b，CF＝CD＝BA＝－AB＝－a.∴DE＝DA＋AB＋BE＝－AD＋AB＋BE＝－b＋a＋b＝a－b.BF＝BC＋CF＝AD＋CF＝b－a.探究三平面向量基本定理的应用【例3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ的值为()A.B.－C.D.[答案]D[解析] 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，∴在△ABD中，BD＝AB＝1.又BC＝3，∴BD＝BC，∴AD＝AB＋BD＝AB＋BC. M为AD的中点，∴AM＝AD＝AB＋BC. AM＝λAB＋μBC，∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.归纳总结：应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的联系.【练习3】如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM与BP:PN的值．[答案]AP:PM＝4:1，BP:PN＝3:2解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.因为点A，P，M和点B，P，N分别共线，所以存在实数λ，μ使得AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋μe2.故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e...