3.3.3点到直线的距离【教学目标】.1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，2..培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作鼓励创新.【重点难点】.公式的推导和应用:点到直线距离教学重点.对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立教学难点:【教学过程】导入新课如果已知某,y=2x的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中思路1.点P(0,5)到直线PAx+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点(xP的坐标为,y),直线l的方程是点00.?这节课我们就来专门研究这个问题到直线l的距离呢已如图1,思路2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离.为使结论具有一般性，我们假设(，求点和直线l:Ax+By+C=0P到直线l的距离知点P(x,y)00B≠0).A、1图新知探究提出问题你最容易想到的方法是.，求点P到直线l的距离①已知点P(x,y)和直线l:Ax+By+C=000?什么?各种做法的优缺点是什么中有一个为零，公式B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B②前面我们是在A、是否仍然成立？)面证法一的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离③回顾前活动：:①请学生观察上面三种特殊情形中的结论|C|Ax?|C|0≠0,y=0=0(ⅰ)x=0,y时，时，d=；d=；(ⅱ)x00002222B?ABA?|C|By?0d=≠0时，.(ⅲ)x=0,y0022BA?d=?),y，观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x00|Ax?By?C|00.学生应能得到猜想：d=22BA?启发诱导：当点P不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)C1?,0).得P′(，令=0Ax+By+C的方程为平行的直线且与直线设过点证明：Pll，y=011A页1第C1|C)?|A?(?|C|C?A1?∴P′N=.2222B?B?AA(*),上:Ax+By+C在直线l=0 P11.C=-Ax-By+By∴Ax+C=0.∴010001||C?Ax?By00(*)得|P′N|=代入22B?A||Ax?By?C00d=即,.22BA?.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立||C?C21.:Ax+By+C③引导学生得到两条平行线l=0与l:Ax+By+C=0的距离d=211222BA?为=0的距离则点P到直线Ax+By+C,y证明：设P(x)是直线Ax+By+C=0上任一点，102000||Ax?By?C00.d=22BA?||C?C21.，∴d==-C+CAx+By=0,即Ax+By又20002022BA?为的距离公式P到直线l讨论结果：①已知点P(x,y)和直线l:Ax+By+C=0，求点00|?By?C|Ax00.d=22B?A.时，上述公式也成立或B=0②当A=0|C?C|21.的距离公式为d==0③两条平行线Ax+By+C=0与Ax+By+C2122B?A应用示例到下列直线的距离：1例求点P(-1，2)0(1)2x+y-10=0;(2)3x=2.|2?(?1)?2?10|10?25?.解d=根据点到直线的距离公式得:(1)5221?225-(-1)|=轴，所以d=|.(2)因为直线3x=2平行于y33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.变式训练点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.页2第|2?6?|3a?446??.=4:或|3a-6|=20a=a=20解3224?3.ABC的面积C(-1，0)，求△A例2已知点(1，3)，B(3，1)，1h.h，则S=|AB|·解:设AB边上的高为ABC△2222(?(1?3)23?1)?|AB|=，.AB边上的高h就是点C到AB的距离1?y?3x?x+y-4=0.AB边所在的直线方程为,即131?3?50?4||?1??h=点C到x+y-4=0的距离为，22211?15?22=5.因此，S=×ABC△22能逐步点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，.体会用代数运算解决几何问题的优越性变式训练2.且与原点的距离等于求过点A(-1,2),的直线方程2即可求出直线方解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,5=0.或7x＋y＋程为x＋y－1=0.8=0和2x-7y-6=0的距离例3求平行线2x-7y+的距离就是2x-7y+8=0P(3,0)到直线:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点解,因此两平行线间的距离.5314|?8142?3?7?0|??.d=535322)27?(?.两平行线间的距离转化为点到直线的距离:把求点评变式训练.:2x+3y-10=0的距离:2x+3求两平行线ly-8=0,l2123.答案：1342,)，-0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(点解:O(0，5513x.的方程为MO′y-3=则直线4811,??P(的交点MO′与...