2.2点的极坐标与直角坐标的互化课时过关·能力提升1.在极坐标系中,极坐标化为直角坐标为().A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,-1)D.(-1,-1)解析:x=ρcosθ=cos=-1,y=ρsinθ=sin=-1,故所求直角坐标为(-1,-1).答案:D2.在平面直角坐标系xOy中,点P的直角坐标为(1,-),若以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点P的极坐标可以为().矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。A.B.C.D.解析:极径ρ==2,极角θ满足tanθ=-,因为点(1,-)在第四象限,所以θ=-,故其极坐标可以为.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。答案:A3.设点P对应的复数为-3+3i,以原点为极点,实轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则点P的极坐标可以为().残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。A.B.C.D.解析:∵复数-3+3i对应的点P的坐标为P(-3,3),∴ρ==3,tanθ==-1.又点(-3,3)在第二象限,∴θ=.故其极坐标可以为.答案:A4.在极坐标系中,已知点A(4,1),B,则线段AB的长度是().A.1B.C.7D.5解析:设极点为O.∵点A(4,1),B,∴OA⊥OB,∴|AB|==5.故选D.答案:D5.已知直线l的直角坐标方程为x+y-1=0,则极坐标为的点A到直线l的距离为().A.B.C.2-D.2+解析:点A的直角坐标为(-),则由点到直线的距离公式得d=.故选B.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。答案:B6.如图所示,在极坐标系中,写出点P的极坐标为(ρ>0,0≤θ<2π),化为直角坐标为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。解析:如图所示,连接OP.∵OQ是此圆的直径,∴∠OPQ=90°.又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=.∴OP=OQ·cos30°=2×.故点P的极坐标为,化为直角坐标为.答案:7.以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的单位长度,若点M的极坐标为,则点M的直角坐标为.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。解析:设点M的直角坐标为(x,y),由题意得x=4cos=4cos=2,y=4sin=4sin=2,所以点M的直角坐标为(2,2).厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。答案:(2,2)8.(1)将下列各点的极坐标化为直角坐标:①;②;③(5,π).(2)将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π):①(,3);②(-1,-1);③(-3,0).解(1)①x=cos=1,y=sin=1,故点的直角坐标为(1,1).②x=6cos=3,y=6sin=-3.故点的直角坐标为(3,-3).③x=5cosπ=-5,y=5sinπ=0,故点(5,π)的直角坐标为(-5,0).(2)①ρ==2,tanθ=.因为点(,3)在第一象限,所以θ=.所以点(,3)的极坐标为.②ρ=,tanθ=1.因为点(-1,-1)在第三象限,所以θ=.所以点(-1,-1)的极坐标为.③ρ==3,因为极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).9.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P.(1)将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M,N,P三点是否在同一条直线上.解(1)由公式得点M的直角坐标为(1,-),点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。(2)因为kMN=,kNP=,所以kNP=kMN.故M,N,P三点在同一条直线上.10.已知极坐标系中的三点A,B,C.(1)将A,B,C三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断△ABC的形状.解(1)A,B,C三点的直角坐标为A(0,5),B(-4,4),C.(2)|AB|==7,|AC|==7,|BC|==7,因为|AB|=|BC|=|AC|,故△ABC为等边三角形.★11.某大学校园的部分平面示意图如图所示.用点O,A,B,C,D,E,F,G分别表示校门、器材室、操场、公寓、教学楼、图书馆、车库、花园,其中|AB|=|BC|,|OC|=600.建立适当的极坐标系,写出除点B外各点的极坐标[限定ρ≥0,0≤θ<2π,且极点为(0,0)].鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解以点O为极点,OA所在的射线为极轴Ox,建立极坐标系.由|OC|=600,∠AOC=,∠OAC=,得|AC|=300,|OA|=300.又|AB|=|BC|,所以|AB|=150.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。由题意得|OE|=2|OG|=300,所以各点的极坐标分别为O(0,0),A(300,0),C,D,E,F(300,π),G.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。