2.1可分离变量型方程的解法[教学内容]1.介绍导数、不定积分公式表及其意义;2.介绍求导和求不定积分的法则;3.引入齐次方程的概念及其求解方法;4.介绍其他可分离变量型方程及其解法.[教学重难点]重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程.[教学方法]自学1、2；讲授3、4，5课堂练习[考核目标]1.会熟记、记准导数公式和积分公式;2.知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数ydyyu?)?f(，将原方程化为知道齐次方程的形式的导数和不定积分;3.，并会用变换xdxx变量可分离型方程;4.知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法;5.知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解.1.导数公式和积分表的意义小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180列表）练习17.（1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式.x?xx?xeee??eshx?chx?，(有的教材用sinhx和，双曲余弦coshx表（2）双曲正弦22221shx?chx,chx??(chx)'shx,(shx)'?).证明：.示2.求导法则和积分法则公式，但你要会将这些函数的(积分)碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数.导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则dy?f'(x)f(x)y??dy?f'(x)dx，导而言，可导性和可微性是等价的，对于一元函数dxf'(x)是y的微分与x微分的商数也称为微商，原因是.下面就给出求导、求微分、求积分v?g(x)u?f(x),设均可导，则法则.???dv?du?d(u?v)(x)'?(f(x)?g(x))'f'(x)?gdv??dud(u?v);；,相应（1）d(u?v)?vdu?udv(x)f(x)g'?f(f(x)?g(x))'?'(x)g(x)；于是相应地有,???udvdu??vv)d(u?;（2）d(f(g(x))?f'(g(x))g'(x)d(f(g(x)))'?f(g(x)vdv,v)?，；于是相应地有dx???(x)dxg''(g(x))f'(v)dv?fd(f(g(x)))?,（从左往右，从右往左，不同思路（3）都要会）3)dx(2x?(2x?3)dx???II?(a)例18.(3)教材P32例求下列积分;(b);12226)(x???(x1)(x?1)5x3.3)?3)(2x(2x???f(x):f(x)记解：(1)(a)分解为简单分式的和，将23)??2)(x(x?5x?6)(x32x?2xAB?3??3f(x)????1,B?A,，其中3???2xx?2x?2x?3x?3x?3?1??C??ln|x?2I?|dx?3dx?3ln|x?|.于是，13?x?2x3)(2x?AAA321?)??g(x?g(x)(b)记，，其中221)??1)(x(x1)??1(xx?1x3??32x2x,2?5/?1/4,A?A?A，-1,1)取x=0(系数不同于确定如下，1?31?xx?1221)(x?1)?(x5/2A1/42?g(0)?3??1/4?A?.则，解得2111?1511C?|?ln|x?1I?ln|x?1|?.因此，21)?2(x44ta???dtteI?tsintdtI??Itlntdt.;例19.求下列积分(a);(b)(c)543222222tt1tttt2???C?lnt--?dt?lntd(t/2)?lnt-d(lnt)I??lnt.(a)(2)解：342t2222222ttt??...??I?d(sint)sintd()?sint此路不通！(b)4222???Csint?-tcost??tcost?costdt?I??td(-cost)t(?cost)?t)d(t)(-cos?.4作为练习.(c)3)dx(2x?2???Idx1?I?x.(a)(b);20.例求下列积分6723/2(x?3x?6)2v?x?3x?6,dv?(2x?3)dx,于是有(a)令解：dv1?3/2?3/2?1?1/2??CI?Cv?v?dv??2v??)从右往左(.63/2v?3/2?1x?sint,dx?costdt于是有，令(b)2tsin2t1cos2td(2t)t1?cos????Cdttdt???dt???I?costcos.742224.作业18.求下列方程的通解221?xdyx?1)dyx(y?1)?dy(x???;(2);(3);(1)2x?2edx1)dx(x?2)(x?dx2x?1可分离变量型方程形式、齐次方程形式及其求解方法3.dy??(y)?f(x)(y)f(x),，其中）可分离变量型方程形式：.连续（1dx?y?yyy?0?(y)，常函数的根求解方法：(1)求出也是方程的解；00dydy???)dx?f(x?f(x)dx,0?(y)(2)分离变量,.??(y)(y)ytandydydy2??ylny?1?y.例21.求解下列方程：;(a)(b);(c)cotxdxdxdx2y?11?y?；，得到解：(a)=0令dydy2??0?1?ydx,??dx,时，原方程改写为当22y1?1?yy??1C)??sin(xarcsiny?x?C,y也是方程的解.为所求的通解，此外，于是，ylny{y?0}ylnyy?1.的定义域为，令(b)=0，得到...