高代下试卷期末

2014-2015学年第二学期《几何与高等代数(下)》期末试卷(2014级数学类专业)班级学号姓名得分一、判断题(每小题3分,满分15分)1.线性变换A可对角化,当且仅当是A的特征子空间的直和。()2.阶多项式矩阵可逆的充分必要条件是满秩。()3.设A为欧氏空间上的对称变换,则A的特征值都为实数,且属于A的不同特征值的特征向量必正交。()4.设,,则与相合且相似。()5.设阶矩阵相似,则具有相同的不变因子组,但反之不成立。()二、填空题(每小题3分,满分15分)1.以原点为顶点,准线为的锥面方程是。2.设,则上双线性函数关于自然基的度量矩阵为。3.设3阶方阵的三个特征值为,3,,则____。4.设,,则它们的最大公因式。5.的初等因子组为。三、计算题(每小题10分,共40分)1.化简二次曲线方程:,并写出对应的坐标变换公式。2.设实对称矩阵与相似,(1)求的值;(2)求正交矩阵,使得。3.设对称多项式:(1)将按字典序重新排列;(2)用初等对称多项式表示。4.设,(1)求的正规形;(2)求的不变因子、初等因子、极小多项式以及若尔当典范形。四、证明题(每小题10分,共30分)1.设互素,即,试证明:若,则。2.设是实矩阵,,试证明:(1)是半正定矩阵;(2)当时,为正定矩阵。3.设是矩阵的极小多项式,是任一次数大于零的多项式,又,试证明:(1)rankrank;(2)可逆的充要条件是。

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