2.3.2抛物线的简单几何性质【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的几何性质8直线与抛物线的位置关系1,9抛物线的焦点弦问题2,3,7抛物线中的最值问题4,10,11,13抛物线中的定值问题12综合应用5,6【基础巩固】2)1.已知直线y=kx-k及抛物线y=2px(p>0),则(C(A)直线与抛物线有一个公共点直线与抛物线有两个公共点(B)直线与抛物线有一个或两个公共点(C)(D)直线与抛物线可能没有公共点y=kx-k=k(x-1),因为直线解析:2,=2px的内部(1,0)所以直线过点(1,0),又点在抛物线y;直线与抛物线有一个公共点k=0所以当时,.当k≠,时直线与抛物线有两个公共点0C.故选2则被抛物线截得的°的直线的焦点作倾斜角为过抛物线2.y=8x45,)B(弦长为页1第(A)8(B)16(C)32(D)642=8x的焦点为由题可知抛物线y(2,0),解析:直线的方程为y=x-2,22=8x,(x-2)=8x,得代入y2-12x+4=0,x即所以x+x=12,弦长=x+x+p=12+4=16.故选B.22112=2px(p>0)的焦点为F,点P(x,y),P(x3.已知抛物线y,y),P(x,y)311213232在抛物线上,且2x=x+x,则有(C)321(A)|FP|+|FP|=|FP|312222=|FP+|FP|(B)|FP||312(C)|FP|+|FP|=2|FP|2312|·|FP|=|FP(D)|FP|213+|=x,|FP|=x+,|FP:解析由焦半径公式,知2121+|=x.|FP33因为2x=x+x,321+)+(x2(x),+)=(x+所以321即2|FP|=|FP|+|FP|.321故选C.2上的点到直线4x+3y-8=0y=-x·临川高二月考)抛物线距离4.(2019的最小值是(A)页2第(D)3(B)(A)(C)22的距离4x+3y-8=0),:设抛物线y=-x该点到直线上一点为(m,-m解析A.故选取得最小值为当.m=时,为,2与(k>0)y==4x的焦点,曲线F5.(2019·全国Ⅱ卷)设为抛物线C:y)D等于(轴,则kxC交于点P,PF⊥(D)2(C)(A)(B)1D.P(1,2),2=k.故选解析:由题知2的直线与抛的焦点过抛物线yF=2px(p>0)6.(2019·郑州高二检测)等于AFB,B,则∠A,B两点,若A,B在准线上的射影为A物线交于1111)A(°°(D)120°(B)45°(C)60(A)90|=|BF|,|=|AF|,|BB由抛物线定义知|AA解析:如图,11,∠F=AFA所以∠AA11FO,∠A又∠AAF=11FO,A∠所以∠AFA=11FO,BBFB=∠同理∠11.FBFO=∠A∠∠∠于是∠AFA+BFB=AFO+B111111.°FB故∠A=9011A.故选页3第2=16x内,过点在抛物线y(2,1)且被此点平7.(2019·兰州高二检测)分的弦AB所在直线的方程是.解析:显然斜率不存在时的直线不符合题意.设直线斜率为k,则直线方程为y-1=k(x-2),①由2-16y+16(1-2k)=0,得ky消去x==2(y,y分别是A,B+y所以y的纵坐标),2211所以k=8.代入①得y=8x-15.答案:y=8x-158.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.2=2px(p>0),依题意可设抛物线标准方程为y解:如图,y=-x+则直线方程为p.设直线交抛物线于A(x,y),B(x,y),2112过A,B分别作准线的垂线,垂足为C,D,则由抛物线定义得++x|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x,+21即x+x+p=8.①21又A(x,y),B(x,y)是直线和抛物线的交点,2112页4第由2=0.y得x-3px+消去=3p,②所以x+x21p=2.,得将②代入①2=4x.y所以所求的抛物线标准方程为2,=-2px(p>0)当抛物线方程设为y时2=-4x.y同理可求得抛物线标准方程为【能力提升】与抛物线已知直线(x-1)y=29.(2019·高安市校级高二月考)2)B等于(·=0,则C:y交于=4xA,B两点,点M(-1,m),m若(D)0(C)(B)(A)2-20x+8=0,可得:解析8x由,x=x=2解得或M(-1,m),A(2,2),B(点,-则),=0,·由-m)=0.可得·(3,2-m),-(2B.故选解得化简得2m-2m+1=0,m=.页5第2=x的焦点,点A,B已知F为抛物线y在该10.(2019·宜春高二月考)·=2(其中O,为坐标原点),则△抛物线上且位于x轴的两侧ABO与△AFO面积之和的最小值是(B)(D)(C)(A)2(B)322,b),的坐标为(b,a),点B:解析设点A的坐标为(a22-ty-m=0,联立得yy=xx=ty+m,直线AB的方程为与抛物线故ab=-m,22+ab=2,得=2a由b·故ab=-2或ab=1(舍去),所以m=2,m|a-b|=|a-b|=|a+ABO|,的面积等于所以△|a|=,△AFO×的面积等于|+|a+与△ABOAFO的面积之和为=所以△|a|=时,等号成立当且仅当a|+||≥=3.2.|B.故选2满足P(a,0))11.(2019·云南质检对于抛物线y=4x上任意一点Q,点的取值范围是.a|a|,|PQ|≥则(,y的坐标为),Q:解析设点0页6第22,≥+(-a)由|PQ|≥|a|,a得(+16-8a)≥整理得0,因为≥0,所以+16-8a≥0,2+恒成立≤即a.2+的最小值为而2,所以a≤2.答案:(-∞,2]2=4xyM(a,3)是抛物线...