数列、极限、数学归纳法·数学归纳法·教案教学目标1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．2．了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．教学重点与难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析．难点：数学归纳法中递推思想的理解．教学过程设计（一）引入师：从今天开始，我们来学习数学归纳法．什么是数学归纳法呢？应该从认识什么是归纳法开始．（板书课题：数学归纳法）（二）什么是归纳法（板书）师：请看下面几个问题，并由此思考什么是归纳法，归纳法有什么特点．问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？（可准备一袋白球、问题用小黑板或投影幻灯片事先准备好）生：把它倒出来看一看就可以了．师：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．顺序操作怎么做？生：一个一个拿，拿一个看一个．师：对．问题的结果是什么呢？（演示操作过程）第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点吗？生：归纳法是由一些特殊事例推出一般结论的推理方法．特点是由特殊→一般（板书）．师：很好！其实在中学数学中，归纳法我们早就接触到了．例如，给出数列的前四项，求它的一个通项公式用的是归纳法，确定等差数列、等比数列通项公式用的也是归纳法，今后的学习还会看到归纳法的运用．在生活和生产实际中，归纳法也有广泛应用．例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测，水文预报，用的就是归纳法．还应该指出，问题1和问题2运用的归纳法还是有区别的．问题1中，一共12个球，全看了，由此而得到了结论．这种把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法．对于问题2，由于自然数有无数个，用完全归纳法去推出结论就不可能，它是由前4项体现的规律，进行推测，得出结论的，这种归纳法称为不完全归纳法．（三）归纳法的认识（板书）归纳法分完全归纳法和不完全归纳法（板书）．师：用不完全归纳法既然要推测，推测是要有点勇气的，请大家鼓起勇气研究问题3．资料1（事先准备好，由学生阅读）费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n∈N时，22n+1一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了225+1=4294967297=6700417×641，从而否定了费马的推测．师：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！再请看数学史上的另一个资料（仍由学生阅读）：师：算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，不是说世界级大师还出错，我们有错就可以原谅，也不是说归纳法不行，不去学了，而是要找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来．师：归纳法为什么会出错呢？生：完全归纳法不会出错．师：对！但运用不完全归纳法是不可避免的，它为什么会出错呢？生：由于用不完全归纳法时，一般结论的得出带有猜测的成份．师：完全同意．那么怎么办呢？生：应该予以证明．师：大家同意吧？对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明．（四）归纳与证明（板书）师：怎么证明呢？请结合以上问题1思考．生：问题1共12个球，都看了，它的正确性不用证明了．师：也可以换个角度看，12个球，一一验看了，这一一验看就可以看作证明．数学上称这种证法为穷举法．它体现了分类讨论的思想．师：如果这里不是12个球，而是无数个球，我们用不完全归纳法得到，这袋球全是白球，那么怎么证明呢？（稍作酝酿，使学生把注意力更集中起来）师：这类问题的证明确不是一个容易的课题，在数学史上也经历了多年的酝酿．第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科．他运用递推的思想予以证明．结合问题1来说，他首先确定第一次拿出来的是...