课时跟踪检测（六）函数的奇偶性与周期性A级——保大分专练1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝lnC．f(x)＝exD．f(x)＝xsinx解析：选B对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f(x)＝的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称解析：选B因为f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则f(－7)＝()A．3B．－3C．2D．－2解析：选B因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.4．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.(ex＋e－x)C.(e－x－ex)D.(ex－e－x)解析：选D因为f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(ex－e－x)．5．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝()A．－B．－C.D.解析：选C因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809解析：选B定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝lnx，则f的值为________．解析：由已知可得f＝ln＝－2，所以f＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln2.答案：ln28．(2019·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋，设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，易判断g(x)＝x＋为奇函数，故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.答案：10．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是____________．解析：当x>0时，lgx>0，所以x>1，当x<0时，由奇函数的对称性得－1<x<0，故填(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．解：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.综上可得f(x)的解析式为f(x)＝12．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．解：(1)证明：由f＝－f，且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝－f＝－f(－x)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝...