第三节不等式的性质及一元二次不等式突破点一不等式的性质1．比较两个实数大小的方法(1)作差法(2)作商法2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔b<a⇔传递性a>b，b>c⇒a>c⇒可加性a>b，c∈R⇔a＋c>b＋c⇔可乘性⇒ac>bc注意c的符号⇒ac<bc同向可加性⇒a＋c>b＋d⇒同向同正可乘性⇒ac>bd>0⇒可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若<<0，则<.()(2)若>，则a>b.()(3)若a>b，c>d，则ac>bd.()答案：(1)√(2)×(3)×二、填空题1．若a<b<0，则与大小关系是__________(用“<”表示)．答案：<2．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．答案：(－∞，－1)1．设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有()A．M>NB．M≥NC．M<ND．M≤N解析：选A因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N，故选A.2．(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式：①a>b⇒ac>bc；②a>b⇒<；③a>b>0，c>d>0⇒>；④a>b>1，c<0⇒ac<bc.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B当c＝0时，①不正确．当a>0>b时，②不正确．由于c>d>0，所以>>0，又a>b>0，所以>>0，③正确．由于a>b>1，当x<0时，ax<bx，故ac<bc，④正确．故选B.3．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.答案：＜4．已知－≤2x＋y≤，－≤3x＋y≤，则9x＋y的取值范围是________．解析：设9x＋y＝a(2x＋y)＋b(3x＋y)，则9x＋y＝(2a＋3b)x＋(a＋b)y，于是比较两边系数得得a＝－6，b＝7.由已知不等式得－3≤－6(2x＋y)≤3，－≤7(3x＋y)≤，所以－≤9x＋y≤.答案：1．比较两个数(式)大小的两种方法2．不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合的问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合的问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．突破点二一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x<x1或x>x2}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集．()(3)若不等式ax2＋bx＋c≥0对x∈R恒成立，则其判别式Δ≤0.()答案：(1)√(2)×(3)×二、填空题1．不等式≥－1的解集是________________．解析：原不等式可化为≥0，即x(x－1)≥0，且x－1≠0，解得x>1或x≤0.答案：(－∞，0]∪(1，＋∞)2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集是________________．答案：(－∞，a)∪3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是________．答案：－144．若不等式ax2－ax＋1<0的解集为∅，则实数a的取值范围为________．答案：[0,4]考法一一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1](1)(2019·深圳月考)已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(－2,1)D．(－1,2)(2)(2019·六安阶段性考试)已知常数a∈R，解关于x的不等式12x2－ax>a2.[解析](1)选C f(x)＝∴函数f(x)是奇函数，且在R上单调递增，∴f(2－a2)>f(a)等价于2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1，∴实数a的...