高数第八章知识点第八章曲线积分与曲面积分二重积分：定积分的积分区域：三重积分：,baD平面区域空间区域曲线积分：一段曲线曲面积分：一块曲面曲线形构件的质量：。求其质量其中，线密度为细线金属平面曲线的质量例：MLyxyxABL,),(),(2.近似：3.求和：4.取极限：,),(iiisM,),(1niiiisM,),(lim10niiiisM1.分割：oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL,121insMMM一、第一类曲线积分的概念曲线形构件的质量.),(LdsyxM柱面的面积：的面积。，求高度为的柱面的一部分，其面上曲线轴，准线为是一张母线平行于设),(yxhLxoyzozyx;),()1常数若yxhL柱面的面积：的面积。，求高度为的柱面的一部分，其面上曲线轴，准线为是一张母线平行于设),(yxhLxoyz;),()2不为常数若yxhozyxLBAiM1iM),(ii),(iih方法：分割、近似、求和、取极限1.分割：2.近似：3.求和：4.取极限：,),(iiish,),(1niiiishA,),(lim10niiiishA的长度。表示其中iiiMMs1柱面的面积：.),(LdsyxhA注意：1.函数在闭曲线上对弧长的曲线积分记为.(,)fxyL(,)Lfxyds2.当积分路径为轴上的直线段时,曲线积分就相当于上的定积分.Lx(,)Lfxyds,abOBxOAyabxy3.(,)(,).ABBAfxydsfxyds性质：(1)(,)(,)(,)(,).LLLkfxyhgxydskfxydshgxyds证(,)(,)bakfxyhgxyds01lim(,)(,)niiiiiikfhgs01lim(,)niiiikfs01lim(,)niiiihgs(,)Lkfxyds(,).Lhgxyds（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL.),(),()4(ABBAdsyxfdsyxf第一类曲线积分的计算法上连续，则在给出，函数由参数方程设平面光滑曲线弧LyxfttyytxxL),()(,)()(dttytxtytxfdsyxfL)()()(),(),(22)(注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,),(.2而是相互---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyyL.)(1)(,),(2dxxyxyxfdsyxfbaL)(ba(3):(),.L.)(1),(),(2dyyxyyxfdsyxfdcL.)(:)2(dycyxxL22(,)()cos,()sin()().Lfxydsfd例1.计算.dsyL其中L为y2=2x自点(0,0)到点(2,2)的一段弧.xxxsyLd2112d20解1：0x2,2:xyLxxysddd1d2xxd211y2=2x022yxxxd1220)155(31解2：0y2,2:2yxLyyysyLd1d202yyxsddd1d2yyd12)155(31022yx22yx例.计算Lsyxd)(22其中L:x2+y2=a2.L:x=acost,y=asint,0t2Lsyxd)(22ttatatatad)cos()sin()sincos(22222022taad20232a解：）例（书例21693P.0,22222yRxyxLdsyxRL为上半圆弧，其中计算oyxLRxycos,sin;xOLyOLcosOLR)20(sincos,cos2RyRx解：空间R3中的曲线：x=x(t),y=y(t),z=z(t),tszyxfd),(xyzOtt主题ytxt主题ytxfd)()()()(),(),(222()推广:例4)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxy政法sI解.21222kakadkaka222sincos20ILdsyxxyyxL2222,2:则设例5例63232323434,)(ayxLdsyxL为星型线其中求二、第一类曲面积分的概念所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.，求它的质量。是光滑的，其面密度若空间曲面),(zyx，求它的质量。面密度为是光滑的，其若空间曲面例),(zyxyxSoz;21nSSSS，：分割曲面,),(iiiiS任取,),(iiiiiSMniiiiiSM10),(lim,max1ndd的直径。是而iiSd方法：分割、近似、求和、取极限即M=dSzyxf),(iiiniiSf),(lim10第一类曲面积分的计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyxdSzyxf),()y,x(zz:.1若曲面则按照曲面的不同情况分为以下三种：xyDyx),(,面上的投影区域）在为（其中xoyDxy;1),(,22dx党中央yzzxyxfx政法zxdSzyxf),(则.1,),(22dydzxxzyzyxfy政法zydSzyxf),(),(.3zyxx：若曲面则)z,x(yy.2：若曲面计算()xy政法S,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.例7yxoz5积分曲面：yz5,解投影域：25|),(22yxyxDxydxdyz政法---本文来源于网络，仅供参考，勿照抄，如有侵权请联系删除---Syx221dxdy2)1(01,2dxdy()xy政法S故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2.2125xyDdxdy52yxoz5例8计算dSxyz|,其中为抛物面22yxz（10z）.解依对称性知：被积函数|xyz关于xoz、yoz坐标面对称轴对称，关于抛物面zyxz22有14成立，(1为第一卦限部分曲面)xy政法xdyz政法Syx221dxdyyx22)2()2(1原式dSxyz|dSxyz14dxdyyxyxxyxyD22...