浅析构造法在初等数学中的应用-中学数学论文浅析构造法在初等数学中的应用芮媛媛，王天予（南京师范大学泰州学院数学科学与应用学院，江苏泰州225300）摘要：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法。关键词：构造法；构造；几何变换：G642.41文献标志码：A：1674-9324（2014）44-0204-03一、引言解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。构造法是运用数学的基本思想经过认真地观察，深入地思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决。构造法作为数学的一种重要的方法，它最大的特点是：创造性地使用已知条件。构造法的内涵十分丰富没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性和现实问题的特殊行为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法。古希腊数学家欧几里得不仅是欧氏几何的奠基人，而且也是数学上构造法的创始人。在《几何原本》中，他第一次用构造法巧妙地证明了数论中以他的名字命名的基本定理“素数的个数是无穷的”。历史上古今中外不少数学家，都曾经用构造法成功地解决过数学上的难题，如瑞士数学家欧拉通过映射构造数学模型，成功地解决了著名的哥尼斯保七桥问题；又如我国古代数学家通过割补构造给出了勾股定理的证明。怎样构造呢？当某些数学问题使用通常办法按定式思维去解很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，通常是从一个目标联想起我们曾经使用过可能达到目的的方法、手段，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造法解题的思路。构造法是帮助发现数学理论和解决数学问题的方法。它在数学解题中的作用主要表现在两个方面：一是许多问题本身有构造性的要求，或者可以通过构造而直接得解；二是有些问题需要通过构造出一个与原问题有关或等价的新问题（我们亦称之为辅助问题），并通过辅助问题帮助原问题的解决，这种巧妙构思正是构造法的技巧与魅力所在。二、构造法的应用运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴含不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造对象的不同将构造方法分别予以举例说明。1.辅助数与式的构造。在求解某些数学问题时，利用矛盾的对立统一性，充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数或式，来架设解题的通道。例1正数a，b满足a3+b3=2，求证：a+b≤2。分析：条件式中次数是3次，而结论式中是1次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当a=b=1时成立。于是考虑构造均值不等式。由均值不等式a3+b3+c3≥3abc得：a3+13+13≥3a（1）b3+13+13≥3b（2）由（1）+（2）变形整理得：a+b≤22.函数的构造。在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构想组合一种新的函数关系，使问题...