数列、极限、数学归纳法·函数思想在等差数列中的应用·教案教学目标1．对等差数列的概念、通项公式、前n项和公式的认识进一步深化，提高学生解决问题的能力．2．帮助引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的研究方法研究数列．教学重点和难点用函数的思想研究等差数列．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数列的基本知识，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今天，我们一起应用这些知识来解决一些问题．请看题目．练习：已知｛an｝是等差数列，其中a1=31，公差d=-8．求数列前n项和的最大值，并求出对应n的取值．师：拿到这个题目，大家有什么想法？生：我一下子得不出Sn的最大值．不过……师：那你能得出些什么？生：我可以得出a2=a1+d=31-8=23，a3=a1+2d=31-8×2=15，a4=a1+3d=31-8×3=7，a5=a1+4d=31-8×4=-1，a6=a1+5d=31-8×5=-9，……（学生口述，老师板书）师：既然得出了这些，不就可以得到对应的Sn的值了吗？生：可以．S1=31，S2=S1+a2=54，S3=S2+a3=69，S4=S3+S4=76，S5=S4+a5=75，S6=S5+a6=66，……（老师板书）师：从这之中，你又能发现什么呢？生：可以看出当n=4时，Sn取得取大值，最大值为S4=76．在前4项中，Sn越来越大，从第4项开始，Sn又越来越小．师：从前几项中，确实可以看出S4最大，可是，当n再大一些的时候，Sn会不会又变大呢？生：不会的．由于a5＜0，d＜0，则ak＜0（k≥5，k∈N+），进而Sk＜S4（k≥5，k∈N+）．因此当n=4时，Sn有最大值，S4=31+23+15+7=76．（学生口述，老师板书）师：他根据数列前n项和的定义，解决了这道题．但是把数列各项分别求出来，未免有些麻烦．请同学们思考他的解题过程是否存在规律？我们能否寻求到更好的解题方法？（二）新课师：在刚才的练习中，我们求出了一个数列前n项和的最大值．现在大家想这样一个问题，是不是所有的等差数列都有前n项和的最大值呢？生：不是的，比如自然数组成的等差数列1，2，3，4，…，n，…，就没有最大值．师：那到底什么样的等差数列前n项和有最大值呢？生：首项大于0，公差小于0的等差数列就有前n项和的最大值，即an=a1+（n-1）d中，a1＞0，d＜0的时候？师：这时的数列有什么特点？生：数列中的各项分布在一条横截距为正，斜率为负的直线上，也就是说可以把等差数列当作一个一次函数来看待．师：同学们已经知道，数列是一种特殊的函数，它是定义在自然数集（或它的子集｛1，2，3，…，n｝）上的函数．当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值就是数列．那么等差数列会是什么样的函数？这个问题我们又该如何下手研究呢？生甲：首先研究等差数列的通项公式．因为它体现了数列的项与项数的对应关系．在等差数列｛an｝中，公差为d（d是常数）．当d≠0时，其通项公式an=a1+（n-1）d=dn+（a1-d）．f（n）=dn+（a1-d），是关于自变量n的一次函数．反之，若an可写成an=an+b的形式，则an+1-an=[a（n+1）+b]-（an+b）=a，即｛an｝是以a为公差的等差数列．所以，通项an可以写在关于n的一次函数形式是｛an｝成等差数列的充要条件．师：想得好，推得也好．那么，等差数列的通项an一定是项数n（n∈N+）的一次函数吗？生乙：不一定．当d=0时，an=a1，而一次函数要求一次项的系数一定不为0，所以当d=0时，an不是关于n的一次函数．只有在d≠0时，才可以进行刚才的研究．但不管公差d是否等于0，我们都可以认为｛an｝分布在一条直线上，d相当于该直线的斜率．师：完全正确．这样就得到d≠0时，an是关于n的一次函数，我们实际是在用函数思想来研究数列．这正是我们今天要研究的课题．（板书课题）比如，我们可以研究数列的单调性、前n项和最大（小）值等问题．首先来考虑，数列的大小变化受谁影响？课堂教学设计说明函数思想是中学阶段学生所接触到的最重要的数学思想方法之一．数列作为一种特殊的函数，更是与函数思想密不可分，而现行教材中对于函数思想在数列中的应用涉及较少，但这一点对于加深学生对数列的认识，提高学生分析问题、解决问题的能力是十分重要的．所以，我们选择了《函数思想在等差数列中的应用》做为课题，进行专题研究．由于数列可以看作是一种函数这种天然的联系并不...