专题31椭圆及其性质一、考纲要求：1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．二、概念掌握和解题上注意点：1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.3.求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法，但基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax2＋By2＝1A＞0，B＞0，A≠B的形式.4.求椭圆离心率的方法①直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.②列出含有a，b，c的齐次方程或不等式，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程或不等式求解.5.利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.6.直线与椭圆的位置关系的解题策略1解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.2设直线与椭圆的交点坐标为Ax1，y1，Bx2，y2，则|AB|＝＝k为直线斜率）.三、高考考题题例分析例1.（2020课标卷I）设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．【答案】（1）y=﹣x+，y=x﹣，（2）见解析证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣12k2+8k2+4k）=0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB，综上∠OMA=∠OMB．例7.(2020·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)【答案】A【解析】法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝＝.又tan∠AMB＝tan120°＝－，且由＋＝1可得x2＝3－，则＝＝－.解得|y|＝.又0<|y|≤，即0＜≤，结合0＜m＜3解得0＜m≤1.对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A．例8.(2020课标卷I)已知椭圆C：2222=1xyab（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【答案】（1）2214xy（2）见解析试题解析：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此，解得2241ab.故C的方程为2214xy.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而.由题设121kk，故.即.解得12mk.当且仅当1m时，0，欲使l：，即，所以l过定点（2，1）例9.(2020·课标卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为()A．B．C．D．【答案】A例10.(2020课标卷II)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2212xy上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1)求点P的轨迹方...