第16卷第4期数学教育学报Vol.16,No.42007年11月JOURNALOFMATHEMATICSEDUCATIONNov.,2007收稿日期:2007–06–25作者简介:任明俊(1971—,男,河南邓州人,教育硕士,主要从事数学教育研究.中学生对函数概念的理解——历史相似性初探任明俊1,汪晓勤2(1.中国一拖集团公司第一高中,河南洛阳471003;2.华东师范大学数学系,上海200062摘要:高一新生和高三学生用自己的语言对函数的描述涵盖了从17世纪莱布尼兹到20世纪布尔巴基学派诸多数学家的各种定义,他们的理解与历史上数学家的理解有着高度的相似性.在中学,课本上函数的抽象定义不易于理解和记忆,学生也往往不从定义出发来理解函数;函数概念历史发展过程中的认识论障碍也会成为课堂上学生的认知障碍.在函数概念的教学中,应该恰当地借鉴历史,以帮助学生更好地理解该概念.关键词:函数的定义;函数的概念;函数的历史;历史相似性中图分类号:G632.0文献标识码:A文章编号:1004–9894(200704–0084–041问题的提出德国著名数学家F·克莱因(F.Klein,1849—1925“”称函数为数学的灵魂[1],“”并认为函数应该成为中学数学的基石[2].函数概念的学习,对提高学生的数学素质,培养学生的创新精神和数学应用意识,都具有无可替代的指导作用.然而,函数概念的复杂性导致了教学的困难[3].J.Kennedy和E.Ragan曾对20世纪60年代末以前美国大中学校的35种数学教材作了统计,发现1959年以后出版的17种教材中有10种将函数定义为序偶的集合[4].T.J.Cooney和M.R.Wilson检查了1958年到1986年间出版的16种美国高中数学教材,发现它们都把函数定义为序偶的集合或两个集合元素之间的对应关系[1].20世纪50年代末,美国数学家、数学史家和数学教育家M·克莱因(M.Kline,1908—1992就曾经这样批判说:“从伽利略到狄利克雷,数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念,但现在却由定义域、值域和序偶(第一个数相同时第二个数也必须相同来玩弄把戏.”[5]“”新数运动的最终失败表明,函数的高度形式化的定义对于学生来说是难以理解的.美国学者J.A.Thorpe指出:20世纪五六十年代函数的形式化定义是一个大错误,我们可以将函数说成是法则、机器,但决不能把它说成是序偶的集合[1]!函数概念的教学和理解在过去数十年的数学教育研究中一直是十分重要的内容,有关的研究文献十分丰富,Ö.Hansson[6]在其综述中不完全列举的相关文献多达120种.一些研究者已经将函数概念的教学与它的历史联系在一起,如M.A.Malik[7]和J.P.Ponte[2]通过函数概念的历史考察得到了若干教学启示;另一些研究者,如S.Vinner[8]、J.A.Thorpe、A.Sfard、S.Vinner和T.Dreyfus[9]等都强调,“”非形式化、抽象程度低的函数定义能使学生在进一步学习序偶集合这样的抽象定义之前获得很强的概念背景.T.J.Cooney和M.R.Wilson据此认为,函数从代数式到变量的依赖关系、再到任意的对应关系、最后到序偶集这一历史发展顺序乃是最合适的教学顺序[1].R.Even研究发现,较之函数的现代定义,职前教师对函数概念的理解要狭隘得多、原始得多,“认为这又会导致学生的函数定义与表象之间的不一致性,使学生的函数概念表象与18”世纪的表象相类似[10].那么,我们今天的中学生对函数概念的理解是否呈现出历史相似性?国内外迄今尚未有人对此作实证研究.本研究就是针对这个问题进行的,目的是为函数概念的教学研究提供新的视角;同时也为HPM(数学史与数学教学关系研究提供新的案例.2研究方法与被试本研究主要通过测试来了解中学生对函数概念的认识状况.测试卷中的少数题目来自教学实践,而大多采自文[9,11~12],我们希望利用这些问题从不同侧面(函数的定义、函数的图像、函数的单值性等去透视学生对函数所持有的观点.随机选取本文作者之一所任教的学校高一和高三两个年级的部分学生作为被试,其中高一122人,高三116人.测试安排在2005年8月,高三学生在前两年内已经完成高中阶段的全部课程;而高一学生是刚刚录取到高中的,他们对函数的理解还只停留在初中水平.选取这两类学生,一类代表初中水平,一类代表高中水平,以便查看是否有差异.限于篇幅,——“”本文只对其中一个问题用你自己的语言描述一下函数概念的调查结果作统计分析.3学生所给出的函数定义对学生的回答进行分析...