第三章数系的扩充与复数的引入测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i解析:i(1+i)2=i·2i=-2.答案:A2.在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选D.答案:D3.若z=4+3i(i是虚数单位),则=()A.1B.-1C.iD.i解析:,故选D.答案:D4.若i是虚数单位,则等于()A.iB.-iC.1D.-1解析:因为=i,所以=i4=1.答案:C5.复数z=+(a2+2a-3)i(a∈R)为纯虚数,则a的值为()A.a=0B.a=0且a≠-1C.a=0或a=-2D.a≠1或a≠-3解析:依题意得解得a=0或a=-2.答案:C6.设复数z=,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为()A.-B.-iC.-D.-i解析:z==a-i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-=-.答案:C7.“m=1”是“复数z=(1+mi)(1+i)(m∈R,i为虚数单位)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,则z=2i为纯虚数;若z为纯虚数,则m=1.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。答案:C8.已知z1=1+i(其中i为虚数单位),设为复数z1的共轭复数,,则复数z2在复平面所对应点的坐标为()聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:因为z1=1+i,所以=1-i,由得,=1,得z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选B.答案:B9.若z=cosθ+isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是()A.B.C.D.解析:z2=(cosθ+isinθ)2=(cos2θ-sin2θ)+2isinθcosθ=cos2θ+isin2θ=-1,所以所以2θ=2kπ+π(k∈Z),故θ=kπ+(k∈Z),令k=0知选D.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。答案:D10.复数z在复平面内对应的点为A,将点A绕坐标原点,按逆时针方向旋转,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到B点,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为()酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。A.-1B.1C.iD.-i解析:设z=a+bi,B点对应的复数为z1,则z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以于是z=1.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。答案:B11.设z∈C,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在()A.实轴上B.虚轴上C.直线y=±x(x≠0)上D.以上都不对解析:设z=a+bi(a,b∈R),因为z2=a2-b2+2abi为纯虚数,所以所以a=±b,即z在复平面上的对应点在直线y=±x(x≠0)上.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。答案:C12.复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为()厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。A.2B.4C.6D.8解析:因为|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+yi|=,它表示点(x,y)到原点的距离,结合图形易知|z+2|的最大值为4,故选B.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若(i为虚数单位),则复数z等于.解析:因为,所以z==-2i.答案:-2i14.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,i是虚数单位,则|a+bi|=.解析:由题意得-2a+i=1-bi,所以解得a=-,b=-1,所以|a+bi|=.答案:15.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量,其中O为坐标原点,则||=.解析:=(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以||=2.答案:216.导学号40294030若复数z满足z+z+=3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解析:设z=x+yi(x,y∈R),则有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于π·22=4π.籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。答案:4π三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知复数z=(2+i)m2--2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)虚数;(2)纯虚数.解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(...