从近五年高考中浅谈二面角的求解摘要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识.2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国Ⅰ全国Ⅱ北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10%8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角.《普通高中课程标准》对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义.根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，AD2，2DCSD，点在侧棱SC上，ABM=60°（1）证明：在侧棱SC的中点，（2）求二面角SAMB的大小.分析：从二面角中半平面上的一已知点向棱作垂线，得垂足,在另一半平面内过该垂足作棱的垂线（如），这两条垂线便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略（2）由，有，，所以是等边三角形.过点B作BFAM交AM于点F，则点F为的中点，过点在平面内作GFAM，交于，有.因为，所以，且是的中点，有，即，又F为的中点，故是的中位线，点是的中点，则GFB即为所求二面角.由，有，在中，，，，所以DACBSGMF所以二面角SAMB的大小为.2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小.最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角，过面内一点作于，作于，连接，由三垂线定理得，则为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理)如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，,分别是棱、、的中点.（1）证明：直线，（2）求二面角的余弦值.分析：过二面角中半平面上的一已知点作另一半平面的垂线，得垂足,再过该垂足作棱的垂线，得垂足，连结起点与终点得斜线段，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线、垂线、射影）,再解直角三角形求二面角的度数.解:证（1）略（2）因为是棱的中点,所以故为正三角形,取的中点,则又因为直四棱柱中,,EABCFE1A1B1C1D1DF1OPAPBlABDCPEF所以,有,过在平面内作,垂足为,连接,则为二面角的一个平面角,在为正三角形中,OB3,在中,,因为11OPOFCCCF所以22122222OP,在中,22114322BPOPOB,272cos7142OPOPBBP,所以二面角的余弦值为77.3.垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥中，底面是矩形，,，分别是的中点.（1）证明：,（2）求平面与平面夹角的大小.解：(1)略(2)因为,所以,又是矩形，所以，故，.又由（1）知,所以直线与的角即为平...