从贝特朗悖论谈现代数学的迷失几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。然而，1899年，法国学者贝特朗（JosephBertrand）提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指一些数学基本概念。贝特朗的这个悖论以及他的《概率论》对几何概率的不确定性提出的批评，促使概率论向公理化方向发展。然而，人类也因此再一次错失了一次纠偏的大好时机！在半径为1的圆内的所有弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。解法一：由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。解法二：由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2。解法三：弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。三个看似都有道理的解法却得到了不同的结果，所以我们称其为paradox。其实，这些结果都是对的。因为它们采用了不同的等可能性假定：解法一假定端点在圆上均匀分布；解法二假定半径在圆内均匀分布以及弦的中点在半径上均匀分布；解法三假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种解法针对三种不同的随机实验，对于各自的随机实验它们都是正确的。现在，如果我们假定弦的中点在圆内均匀分布。那么前两种假设中弦的中点便不是均匀分布了。它们的分布情况如下：解法一的弦中点分布：解法一的弦分布：解法二的弦中点分布：解法二的弦分布：解法三的弦中点分布：解法三的弦分布：从贝特朗的这个悖论，我们可以清醒地看到数学家们对点的分布状态影响问题的结果是有认识的！事实上，贝特朗悖论告诉了我们一个很浅显的道理：我们在解决一个问题之前，就应该设定点的分布状态。然而，遗憾的是数学家们不去反省由此悖论反应出来的数学基础是否牢固，而总是弄出一大堆理论来试图亡羊补牢。说句不好听的话，数学的公理化是什么？就是如果你说的一大堆谬论没有自相矛盾，那么恭喜你，你创造了一套理论。现在问题来了！数学中我们经常所说的“点”究竟是什么？平面或者空间中点的分布状态到底是怎么样的？我们一般倾向于假设点在平面或者空间是均匀分布的，但是“均匀”这个词并不能表达所有，是在每个方向上是均匀的吗？在每条直线上的密度是一样的吗？我们能建立直角坐标系吗？如果我们建立了直角坐标平面xOy，那么就等于宣布了平面上的点在x轴和y轴方向上都是均匀的，而且在x轴和y轴上的“密度”是相同的！我们在向自己的学生讲授函数知识的时候，总是说单调函数是从定义域A到值域B上的一一对应。果真是这样吗？下面我也仿照贝特朗悖论，提出下面一个悖论：首先我们假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，这个大家没有意见吧？！给定一个分段函数：当0<=x<=1时，y=x；当1<=x<=2时，y=2x-1。这是一个单调函数，按照数学家们的说法，按照这个对应法则，从定义域[0，2]到值域[0，3]建立了一个一一对应关系。下面我要问：当x在[0，2]内变化时，x∈[0,1]的概率是多少？如果在x轴上看，概率当然是1/2；又因为通过这个函数可以得到x∈[0,1]<=>y∈[0,1]，x∈[0,2]<=>y∈[0,3]，这就是说，如果通过这个函数转移到y轴上去看,概率变成了1/3。问题出在哪儿？如果大家看了我前面写的博文《数学超级谬论：部分可以等于整体》就会很明白了：如果假设平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的，那么上述函数并没有真正建立从区间[0，2]到区间[0，3]的一一对应关系！在这个对应关系中，y的值在区间[0,3]上并不是均匀分布的！可是事先，我们假定平面内的点在x轴和y轴上都是均匀分布的啊！看来，我们经常采用建立直角坐标系研究函数的做法，本身基础就是有问题的！现代数学继续迷失在深不可测的“无穷”里！数学超级谬论：部分可以等于整体一天，三个乞丐在路上捡到了三个苹果，他们决定把苹果分掉。乞丐A提出了分配方案：“我拿...