专题9切线问题一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等.二、解题秘籍(一)求曲线在某点处的切线求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．【例1】（2022届天津市静海区高三上学期开学摸底）已知函数,.（1）在点处的切线方程；（2）求函数在上的最小值；（3）若存在使得成立,求实数的取值范围.【分析】（1）由,,,得函数在处的切线方程为即.（2）令,解得,则时,,函数单调递增,时,,函数单调递减,；,(3)先证明恒成立,故恒成立,令,,则,因为,所以,即,所以当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增,,,所以,所以(二)求曲线过某点的切线求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．【例2】（2022届河北省部分学校高三上学期第一次月考）已知函数.（1）求过点与曲线相切的切线方程.（2）若,函数有且只有一个零点,证明：.【分析】（1）设切点,则.因为,所以,所以切线方程为,将点代入,得.,切点为,k=0,故所求切线方程为.（2）由得.先证明,所以.在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得,即.当时,,单调递减；当时,,单调递增.所以当时,取得最小值,且.,x=1时取“=”,则,所以,,所以,则,于是要使有唯一的零点,则,即,所以.设,则在上单调递减.因为,,所以,即.(三)求曲线的切线条数求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.【例3】（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数,.（1）讨论的单调性；（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切,求a的取值范围.【分析】（1）,,当时,在上单调递增；时,在上单减,在上单增；（2）设切点横坐标为,则切线方程为,代入得,即,关于的方程在内恰有两个解,令,在上单增,在上单减,又,当时,,且,故当时,方程有两个解,所以,故a的取值范围为.(四)曲线的公切线研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.【例4】已知函数（1）若直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,求直线l的方程；（2）证明：．（参考数据：）【分析】（1）,,函数在点处的切线方程为：,即,函数在点处的切线方程为：,即,因为直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,所以,将代入得,即,所以或,若,则,此时直线l的方程为：；若,则,则此时直线l的方程为：,综上得：或.（2）先证明,所以,设,则,令,则,令,得,所以存在使得满足在和上单调递增,在上单调递减,所以,又因为,且,因为在上单调递减,所以,所以,所以,即,即.(五)取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.【例5】（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由.（参考数据：,）【分析】由（1）,,得切线方程为.（2）令,若存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直,则存在,.,令,解得：.所以在上单调递减,在上单调递增.,,故,所以存在,使得,例如.三、典例展示【例1】函数．（1）当时,求曲线在处的切线方程；（2）若对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围；（3）设,若为曲线的两个不同点,满足,且,使得曲线在处的切线与直线平行,求证：【解析】（1）当时,,得出切点,切线的斜率曲线在处的切线方程为,化为（2）对任意,恒成立,即恒成立．令．①当时,恒成立,函数在上单调递增,时符合条件．②当时,由,及,解得．当时,；当时,则在单调递减,在单调递增．所以,这与相矛盾,应舍去．综上可知的取值范围为（3）．曲线在处的切线与直线平行,要证即证明,变形可得,令,则要证明的不等式等价于构造函数．则在区间上单调递增．函数在区间上...