正项级数判敛的新的比值判别法及推广苏艳华(沈阳教育学院,辽宁沈阳110015)[摘要]为了判别正项级数的敛散性,本文给出一种新的比值判别法及其推广,同时证明了它优于柯西判别法,达朗贝尔判别法和拉贝判别法。[关键词]正项级数;比值判别法;收敛;发散[]10032191X(2002)0920013203[]0173[文献标识码]A下去,经过有限次后总能得到nk-1=2nk+i(i=0,1),使我们已经知道关于正项级数的达朗贝尔判别法的Un+1an1an2ank∞an极限形式:有正项级数6Un(Un>0),且lim=L,①得n0≤nk<p,此时≤≤≤≤≤k成立n→∞Unbnbn1bn2bnkn=1∞∞anai若L<1,则级数6Un收敛;②若L>1,则级数6Un发散。∴Πn≥n0,都有≤k=max{}成立n=1n=1bnn≤i<pbi0∞∞根据比较判别法(有两个正项级数6Un与6Vn且n=1n=1Un+1从这里可以看出,当lim=1时,这个判别法就n→∞Un失效了,为了解决这个问题,要推导出一个新的比值判别法。∞ϖN∈N,Πn≥N,有Un≤CVnC是常数,①若6Vn收n=∞∞∞敛,则6Un收敛;②若6Un发散,则6Vn发散)可知:级数(B)收敛则级数(A)收敛,级数(A)发散则级数(B)发散。n=1n=1n=1∞∞[引理1给定两个正项级数(A):6an和(B):6bn,n=1n=1a2nb2na2n+1b2n+1若从某项起(如n>N时)不等式a≤,≤ba2na2n+1bna∞nnn[定理1给定正项级数6an,若lim=lim=ρn=1n→∞ann→∞an成立,则级数(B)收敛蕴含着级数(A)收敛,级数(A)发散蕴含着级数(B)发散。证明:取定自然数n0,取q=2n0>n0,设对于Πn≥∞∞则ρ<1时6an收敛ρ;>1时6an发散。2n=12n=111证明:①当ρ<2时,取ε>0,使得ρ+ε=r<2,由a2nb2na2n+1b2n+1n0,不等式an≤,≤成立,上述不等式可变bnanbna2na2n+1lim=lim=ρ知:Πε>0,ϖN∈N,Πn≥N,有a2nana2n+1ana2n+1an(n→∞ann→∞an形为b2n≤,≤,即b≤i=0,1)bnb2n+1bnbna2na2n+1a2n12n+1an-ρε-ρερε<,<,则an<+=r<2和aian令k=max{}n≤i<pba2n+1110ρε∴ϖS∈R,S>1,使得<+=r<2,又0<r<2anan当n0≤n<p时,有bn≤k成立。∞∞11110<r<<,令bn=,则6bn=6收敛,且lim2SnSnS当n≥p时,可将n写成n=2n1+i(i=0,1),则n=2n1+i≥p=2n0所以n1≥n02n=1n=1n→∞b2n+1n1=lim()S=∴ϖN1∈N,当n>N1时,有bnn→∞2n+12b2n+1a2n+1b2n1a2na2n+ianan>r>,又=S>r>,由引理1可知:11若n0≤n1<p时,则bn=b2n+i≤成立bnanbnan2bn11∞6an收敛。n=1若n1≥p,可将n1写成n1=2n2+i(i=0,1),则一定有n2≥n0若n2<p时,则成立;若n2≥p时,则将此方法继a2n,由lim=②ρ>1时,取ε>0,使得ρ-ε>1当22n→∞an[收稿日期]2002-07-18[作者简介]苏艳华(1964—),女,内蒙赤峰人,沈阳教育学院数学系讲师。14辽宁教育学院学报2002年第9期a2n+1a2nanan1an2anlim=ρ知:Πε>0,ϖN∈N,Πn>N,有-ρ<k-1),使得n0≤nd<p,则有≤≤≤≤n→∞anbnbn1bn2a2n+1-ρ<ε,则a2n>ρ-ε>a2n+1,>ρ-ε>11an4ε,,≤m成立anan2an2bn4b2n+1n1b2n令bn=1,则6bn=61发散,且∞∞=<,annn=1n=1nbn12n+12bn∴Πn≥n0,都有b≤m成立nb2n12n2n+1ab<,<an=12n+1=,∴=<,由引理根据比较判别法知:级数(B)收敛则级数(A)收敛级数(A)发散则级数(B)发散。2n2bn2nanbn2an∞1知:6an发散。n=1∞akn+i6an,若lim=ρ(i=0,1[定理2给定正项级数n=1∞a2n+1n→∞an[推论1给定正项级数6an,若lim=1,且limn=1n→∞an∞∞k-1)则当ρ<1时6a收敛;当ρ>1时,6a发n→∞nnkn=1kn=1a2n1∞1∞an=ρ存在,则当ρ<2时n=16an收敛;ρ>2时n=16an发散。证明:①当ρ<1时,取ε>0,使得ρ+ε=r<1,由散。k=ρ知:Πε>k∈N,Πn≥N,有a2n+1a2n+1a2nan+1a2n证明: an=×,又lim=1,lim=akn+1a2nann→∞ann→∞an0,ϖNlimn→∞anρ∴lima2n+1=ρ由定理1知:推论1成立。akn+iakn+i11n→∞an[注]对于定理1和推论1,当ρ=-ρ<ε,则有<ρ+ε=r<。又0<r<anankk1时,无法判断∴ϖS∈R,S>1,使得0<r<<1。令bn=,则112kSknS∞正项级数6an的敛散性。n=1由前面的引理1,定理1和推论1可知,实际上,新的比值判别法是把an拆成两项来讨论,那么,我们是否可以进一步推广到把an拆成k项呢?bkn+i∞∞1n1bn-6收敛,且lim=lim()S=∴ϖN16n=1n=1nSn→∞bn→∞kn+ikSnbkn+ia∈N,当Πn>N时,有>r∴>r>,由引bkn+ikn+i1bnbnan∞∞∞理2可知:6an收敛。n=1[引理2给定两个正项级数(A)6an和(B)6bn,若n=1n=1akn+i11aknbknakn+1bkn+1②当ρ>k时,取ε>0ρ,...