贝叶斯统计与马航搜寻摘要：马航客机MH370已经失联超过一个月，中国在内的全球多国在南海与印度洋连日海空搜寻未果，希望渐趋渺茫。马航客机的搜寻，牵动着家属的心，也牵动着世界各国人民的心。马航搜寻过程中，贝叶斯统计起到了重要作用。关键词：马航；贝叶斯；反演；概率。1.导言失踪多日的马航MH370客机航向何方，如今位在何处，已经成为本世纪至今最大的谜团。对于钻研数字，分析变项与评估机率的统计学者看来，找到失踪客机的可能性将涉及大量信息与数字分析。将概率学与海洋模拟实验相结合的方法，可以帮助人们尽快找到失联客机。1966年美国一架B-52轰炸机在西班牙的帕洛玛雷斯上空发生事故，与加油机碰撞，飞行员失去对飞机的控制，轰炸机上的四枚氢弹找到一枚基本完好无损的，和两枚在人员稀少的地区爆炸的，还有一枚失踪了。一位名为约翰·克雷文的数学家被美国当局调派到当地进行搜寻工作。克雷文博士采取贝叶斯方法，做出各种假设，想象出各种情景，然后在各种情境下猜测出氢弹在各个位置的概率，以及每种情境出现的可能性，他从专家那里得到结果后，综合到一起，画了一张氢弹位置的概率图：把整个可能的区域划分成了很多个小方格，每一个小方格有不同的概率值，有高有低，如同地图上表示山峰和山谷的等高线一样，完成了贝叶斯方法的第一步。在搜索的过程中同时对每个格子的概率进行更新，不过，概率最大的方格子指示的位置常常是陆地上险峻的峡谷和深海区，即使氢弹真的在那里，也未必找得到，所以需要绘制另一张概率图，表示“氢弹已经在那里，能找到的概率”而不是氢弹位置的概率。最后氢弹被找到，两张概率图和他的贝叶斯方法发挥了不小作用。两年后，克雷文又用同样的方法找到了失踪的潜艇“天蝎号”，下图为当时他在搜寻过程中绘制的20英里海域概率图：几十年间，贝叶斯方法应用越来越广泛，从搜索引擎筛选词条到无人驾驶汽车综合判断自己的行驶位置，钻进了各个角落。2.预备知识英国学者T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推断所得的全部结果，构成贝叶斯统计的内容。认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到20世纪30年代。到50～60年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩大。它的技术原理分为先验分布与后验分布两种。先验分布是总体分布参数的一个概率分布。贝叶斯学派的根本观点，是认为在关于的任何统计推断问题中，除了使用样本X所提供的信息外，还必须对规定一个先验分布，它是在进行推断时不可或缺的一个要素。贝叶斯学派把先验分布解释为在抽样前就有的关于的先验信息的概率表述，先验分布不必有客观的依据，它可以部分地或完全地基于主观信念。例如，某甲怀疑自己患有一种疾病，在就诊时医生对他测了诸如体温、血压等指标，其结果构成样本。引进参数：有病时，；无病时，。X的分布取决于是0还是1，因而知道了有助于推断是否为1。按传统（频率）学派的观点，医生诊断时，只使用X提供的信息；而按贝叶斯学派观点，则认为只有在规定了一个介于0与1之间的数作为事件的先验概率时，才能对甲是否有病（即是否为1）进行推断。这个数刻画了本问题的先验分布，且可解释为疾病的发病率。先验分布的规定对推断结果有影响，如在此例中，若疾病的发病率很小，医生将倾向于只有在样本显示出很强的证据时，才诊断甲有病。在这里先验分布的使用看来是合理的，但贝叶斯学派并不是基于“是发病率”这样一个解释而使用它的，事实上即使对本病的发病率毫无所知，也必须规定这样一个，否则问题就无法求解。后验分布则是根据样本的分布及的先验分布，用概率论中求条件概率分布的方法，可算出在已知的条件下，的条件分布。因为这个分布是在抽样以后才得到的，故称为后验分布。贝叶斯学派认为：这个分布综合了样本及先验分布所提供的有关的信息。抽样的全部目的，就在于完成由先验分布到后验分布的转换。如上例，设，而，则贝叶斯学派解释为：在某甲的指标量出之前，他患病的...