新东方考研概率题讲解第四章随机变量的数字特征第一节基本概念1、概念网络图2、重要公式和结论（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差，矩①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)=,k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=，k=1,2,….①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)=k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即=k=1,2,….切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n>2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望＝＝方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：①；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i）若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。（ii）若（X，Y）～N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。例4．1：箱内装有5个电子元件，其中2个是次品，现每次从箱子中随机地取出1件进行检验，直到查出全部次品为止，求所需检验次数的数学期望。例4．2：将一均匀骰子独立地抛掷3次，求出现的点数之和的数学期望。例4．3：袋中装有标着1，2，…，9号码的9只球，从袋中有放回地取出4只球，求所得号码之和X的数学期望。例4．4：设随机变量X的概率密度为求E（X）及D（X）。例4．5：设随机变量X~N（0，4），Y~U（0，4），且X，Y相互独立，求E（XY），D（X+Y）及D（2X-3Y）。例4．6：罐中有5颗围棋子，其中2颗为白子，另3颗为黑子，如果有放回地每次取1子，共取3次，求3次中取到的白子次数X的数学期望与方差。例4．7：在上例中，若将抽样方式改为不放回抽样，则结果又是如何？例4．8：“随机变量X的数学期望E(X)=μ.”的充分条件：(1)X的密度函数为f(x)=(λ>0,-∞<x<+∞)(2)X的密度函数为，（x）例4．9：利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率。例4．10：设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D（X+Y）=D（X）+D（Y）是X和Y（）。（A）不相关的充分条件，且不是必要条件；（B）独立的充分条件，但不是必要条件；（C）不相关的充分必要条件；（D）独立的充分必要条件。例4．11：设X与Y相互独立都服从P（λ），令U=2X+Y，V=2X-Y。求随机变量U和V的相关系数例4．12：设（X，Y）服从D={(x,y)|x2+y2≤1|}上的均匀分布，求并且讨论X与...
