课时27抛物线模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2【答案】C2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＝0，则等于()A．9B．6C．4D．3【答案】B【解析】设A、B、C三点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，F(1,0)．∵＝0，∴x1＋x2＋x3＝3.又由抛物线定义知＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6，故选B.3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A．2B．3C.D.【答案】A【解析】如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为P到F的距离，由图可知，距离和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2，故选A.【规律总结】重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.5．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x【答案】B【解析】由题可知抛物线焦点坐标为(，0)，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y＝2(x－)，令x＝0，可得A点坐标为(0，－)，所以S△OAF＝··＝4，∴a＝±8.6．已知抛物线y2＝4x上两个动点B、C和点A(1,2)，且∠BAC＝90°，则动直线BC必过定点()A．(2,5)B．(－2,5)C．(5，－2)D．(5,2)【答案】C7．已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________．【答案】4米【解析】设抛物线方程为x2＝－2py，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8×＝12，x＝±2.故水面宽4米．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交该抛物线于A、B两点．若椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与点F重合，右顶点与A、B构成等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为__________．【答案】【解析】由y2＝4x得，抛物线的焦点为F(1,0)，过点F且垂直于x轴的直线与该抛物线的交点坐标分别为：A(1,2)，B(1，－2)，又椭圆C右焦点的坐标为(1,0)，椭圆右顶点与A，B构成等腰直角三角形，所以椭圆的右顶点坐标为(3,0)，即a＝3，所以e＝＝.9.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.10．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA�·OB�的值；(2)如果OA�·OB�＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．【解析】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA�·OB�＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2[新题训练]（分值：10分建议用时：10分钟）11．（5分）点P到A(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线l：y＝x的距离等于，则这样的点P的个数为________．【答案】3【解析】由抛物线定义，知点P的轨迹为抛物线，其方程为y2＝4x，设点P的坐标为，由点到直线的距离公式，知＝，即y－4y0±4＝0，易知y0有三个解，故点P个数有三个．12．（5分）已知点M是抛物线y2＝4x上的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为________．【答案】4【解析】依题意得|MA|＋|MF|≥(|MC|－1)＋|MF|＝(|MC|＋|MF|)－1，由抛物线的定义知|MF|等于点M到抛物线的准线x＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC|＋|MF|的最小值等于圆心C(4,1)到抛物线的准线x＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.
