求积元法在金融工程计算领域应用初探摘要金融工程领域的大量实际问题最终都可归结为对随机微分方程（组）的求解.针对金融工程计领域涉及到的静态一维问题，首次将求积元方法应用于非自伴随微分方程的求解.建立了相应的求积元方法计算单元.对典型问题进行计算，并与解析解、有限差分解、有限元解分别进行对比.结果表明，求积元法是一种简单准确高效的数值方法，可进一步用于金融工程计算领域动态问题、二维问题的计算分析.关键词数理经济；数值方法；求积元法中图分类号F830.91文献标识码AAPreliminaryStudyontheApplicationofQEMinFinancialEngineeringAnalysisYANGYanxi(PartySchooloftheOrganDirectlyUndertheHunanCPCProvincialCommittee，Changsha,Hunan410079，China)AbstractManypracticalproblemsinmodemfinancecanbecastintotheframeworkofstochasticdifferentialequations.ThestaticIDprobleminfinancialengineeringcharacterizedbynonselfadjointwasexaminedinthispaperbyusingtheQuadratureElementMethod(QEM)forthefirsttime.Thequadratureelementfortheproblemmentionedabovewasestablished，andnumericalresultsfromQEMwerecomparedwiththeanalyticsolution，FDMandFEMrespectively.ItisshownthathighcomputationalaccuracyandefficiencyareachievedusingQEM，andthismethodcanbefurtherusedindynamicproblem,2Dproblemoffinancialengineering.KeywordsMathematicalEconomics；NumericalMethod；QuadratureElementMethod1引言随着科学技术的不断发展，在现代金融工程领域愈来愈重视定量的数理分析，大量的实际问题，如动态最优定价、金融衍生产品的定价、投资风险的规避等，经过数理建模，最终都归结为对随机微分方程（组）的求解［1-3］.这些微分方程（组）中很多都不易求得解析解，发展相应的数值解法具有重大意义.传统的数值求解方法主要包括二叉树方法，蒙特卡洛方法、有限差分法［4］，这些方法对计算机的计算能力要求较低，计算精度不高.近年来，国内外学者又将有限元法应用于金融工程计算领域［5］，提高了计算的精度和效率，但其收敛性和稳定性还有待进一步研宄.当前，金融活动的风险及复杂性进一步加剧，数理建模得到的微分方程规模更大、复杂程度更高，有的还具有一定的非线性，迫切需要一种简洁、准确、高效的数值计算方法.求积元方法是一种结合了高效数值积分和微分求积法二者优势的新的求解常（偏）微分方程（组）的高阶数值方法.该方法自2007年由清华大学钟宏志教授提出以来，在工程结构分析领域中已得到较为广泛地应用[6-9],展现出其相比传统有限元法的独特优势.工程结构计算分析所涉及的微分方程（组）一般均具有线性自伴随的特性，因而具有相应的变分形式.而对于金融工程计算分析中所涉及的微分方程（组）一般不具有自伴随的特性，对于求积元方法的应用还是一个新的领域.针对金融工程计算领域的静态一维问题，将求积元方法应用于非自伴随的微分方程的数值求解，建立相应的求积元单元.选取3个典型问题进行计算，与解析解、有限差分解和有限元解分别进行比较，验证求积元方法的适应性、准确性和高效性.为该方法在金融工程计算领域动态问题（期权定价问题）、二维问题中的深入应用奠定基础.2一维边值问题的求积元离散一般地，金融工程中的静态一维问题可用如下微分方程=0(1)和相应的边界条件表示，alu(xmin)+3lu'(xmin)=yb(2)a2u(xmax)+32uz(xmax)=y2.(3)式(1)中，ux为定义在区域xmin，xmax上的未知(待求)函数，u〃x、u'x分别表示对x求二阶、一阶导数.alx、a2x、fx为己知函数.式(2)、式(3)为边界条件.假设未知函数ux可以用近似函数x来表示，基于Galerkin加权残值积分近似为零和求积元法求解思想，权函数选定为近似函数的变分S，令式(1)残值在加权积分意义下为零，即fxmaxxmin8lr+al’+a2+fdx=0.(4)对式(4)中的二阶导数进行分部积分fxmaxxmin3"+a1'+a2+fdx=fSxmaxxmin-fxmaxxminf6zdx+fxmaxxmin6alz+a2+fdx=f(x)+al(x)ux)+a2(x)u(x)+f(x+b.t.=O.（5）式（5）中，b.t.表示边界条件.将式（5）中积分进一步离散，根据求积元求解基本步骤，首先将待求解物理...