浅谈集合思想与摩根定理的若干应用浅谈集合思想与摩根定理的若干应用摘要：深入对集合基本概念的认识，很容易能够发现集合思想与摩根定理在实践中能解决相当多的难题。本文在结合大量实例的基础上，运用集合思想与摩根定理思想，探究了其在集合、简易逻辑及概率中的应用。关键词：集合思想；摩根定理；集合；简易逻辑；概率中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号：1992-7711(2014)05-0159集合是高中数学的基本知识，若深入对集合基本概念的认识和理解，可发现集合思想与摩根定理作为工具在实践中对一些棘手的问题能很好地解决，并易丁理解。本文主耍介绍了运用集合思想与摩根定理思想在集合、简易逻辑及概率中的应用。一、在集合中的应用在集合中，摩根定理C1(MUN)=C1MAC1N,C1MUC1N=C1(MAN),是一个不可或缺的工具，在集合中巧妙利用它能达到事半功倍的效果。例］.设集合I={(x,y)xeR,yeR}，集合M={(x,y)■二1},N={(x,y)yHx+1},那么Cl(MUN)=()A.B.{(2,3)}C・(2,3)D.{(x,y)y二x+1}分析：本题若从正面入手有一定难度，若利用摩根定理能很快解决并易于理解，由摩根定理得：Cl(MUN)二C1MQC1N,即只要求出M集合与N集合的补集后取交集即可。由题设得:ClN={(x,y)y二x+1}，故C1(MUN)=C1MAC1N={(2,3)}选B。二、在简易逻辑中的应用从集合的观点看，建立命题p,q相应集合。p：A={xp(x)},q：B={xq(x)},那么，若AB,则p是q的充分条件；若AB且AHB,则P是q的充分非必要条件；若BA,则p是q的必耍条件；若BA且AHB,则p是q的必要非充分条件;若B二A,则p是q的充要条件；若BA且AB,则p是q的非充分非必要条件；示意图如下：1.寻求两个命题间的逻辑条件例1・命题甲：x+yWl；命题乙：x2+y2Wl,贝！J()A.甲是乙的充分非必要条件；B.甲是乙的必要非充分条件；C.甲是乙的充要条件；D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件分析：此题从正面入手较为困难。利用集合关系可以迎刃而解，构造图形可知，甲为如图示阴影部分，乙为单位圆部分：故从集合角度甲乙且甲H乙，故选A。例2.命题甲：xH2或yH3；命题乙：x+yH5,贝U()A.甲是乙的充分非必要条件；B.甲是乙的必要非充分条件；C.甲是乙的充要条件；D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.分析：这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难。利用集合思想可迎刃而解。为了进行判断，首先需要构造两个集合：甲、乙；判断甲、乙的集合关系即可。显然集合甲集合乙，故选择氏2.判断命题的真假性例3.已知p,q为两个简单命题，且命题“P或q”的否命题是真命题，则必有()。A.p真q真B.p假q假C.p真q假D・p假q真由摩根定理积极和思想可知“P或旷的否命题可转化为Cl(pUq)二ClpQClq：即(pUq)二pPlq为真。故必是p与q都真，从而P假且q假，故选Bo从以上两类题型可知利用集合思想处理简易逻辑方便快捷、易于理解、可行性强。三、在概率中的应用从集合的观点看：若AB,A发生则B发生；若BA,B发生则A发生；若B二A,则A,B同吋发生；若AQB二，则事件A与事件B为互斥事件；若AQB二且则事件A与事件B为对立事件；(I为全集);A+B可以理解为发生或发生(AUB),可以理解为发生且发生(AAB)；且摩根定理思想的应用不可忽视。例4.从3个男生和4个女生中选出3个人参加会议，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少有一个男生和全是男生B.至少有一个男生和至少有一个女生C.恰有一个男生和恰有一个女生D.至少有一个男生和全是女生分析：利用集合思想解决这类题型方便快捷，在A中｛至少有一个男生｝Q｛全是男生｝二｛全是男生｝工:排除A；在15中｛至少有一个男生｝Q｛至少有一个女生｝二｛一男两女或两男一女｝工,排除B；在D中｛至少有一个男生｝n｛全是女生｝二并且｛至少有一个男生｝U｛全是女生｝二全集，故D屮两事件对立；可验证C屮｛恰有一个男生｝A｛恰有一个女生｝二，但其并集不是全集，故C符合条件。例5.如图在电路上A、B、C表示开关，如果用事件A、B、C分别表示相应的开关闭合,A、B、C独立且A、B、C闭合的概率均为0.6,则通路的概率为多少？分析：此题易入手，但也易出错，利用集合思想与摩根定理则易于破解，由图可知A,B所在为串联，则该线路通必是A,B两个都通，该线路通记为D通。而线路通则为C或D...