2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典5.2导数运算解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设函数的导函数是，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】求导后，令，可求得，再令可求得结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了导数的计算，考查了求导函数值，属于基础题.2．原子有稳定和不稳定两种．不稳定的原子除天然元素外，主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成，这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后，会转变成稳定的原子，这种过程称之为“衰变”．这种不稳定的元素就称为放射性同位素．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设在放射性同位素钍234的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中N0为时钍234的含量．已知时，钍234含量的瞬时变化率为，则（）A．12贝克B．12ln2贝克C．6贝克D．6ln2贝克【答案】A【解析】【分析】由时，钍234含量的瞬时变化率为，可求，从而可求.【详解】解：，所以，，(贝克)，故选：A.【点睛】考查导数的几何意义以及求函数的值，基础题.3．函数的导函数为，若对于定义域为任意，有恒成立，则称为恒均变函数.给出下列函数：①；②；③；④其中为恒均变函数的序号是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②④【答案】B【解析】【分析】针对每一个函数，分别计算出与，检验两者是否恒相等，即可得解.【详解】对于①，，，满足，故①为恒均变函数；对于②，，，满足，故②为恒均变函数；对于③，当，时，，即此时，故③不为恒均变函数；对于④，当，时，，，即此时，故④不为恒均变函数.故选：B.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了运算能力和对于新概念的理解，属于中档题.4．设，，，…，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的导函数和已知定义，依次对其求导，观察得出，可得解.【详解】，，，，，，由此可知：，.故选：D.【点晴】本题考查三角函数的导数，依次求三角函数的导数找到所具有的周期性是解决此问题的关键，属于中档题.5．已知函数，其导函数为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】计算得到，，代入数据得到答案.【详解】函数，，，，故答案选.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，计算出是解题的关键.6．函数的导函数为，集合，中有且仅有１个元素，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】计算得，又由题知，在上仅有一个零点，所以可得，则有，求解不等式组即可得的取值范围.【详解】计算得，又由题知，在上仅有一个零点，又，所以，由得，所以，解得：，所以当时得；当时得；当时得；故得：.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的运算，三角函数的图象性质，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解与逻辑推理能力.二、多选题7．给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】【分析】求出每一个函数的二阶导数，判断是否在上恒成立,从而得到答案.【详解】对于A选项，，则，当时，恒有，是凸函数；对于B选项，，则，当上，恒有，是凸函数；对于C选项，若，则在上恒成立，是凸函数；对于D选项，若，则，则在上恒成立，故不是凸函数.故选：ABC.【点睛】本题考查导数的计算，考查获得新知识、应用新知识的能力，比较简单.解答时只要准确求出原函数的二阶导数进行分析即可.8．经济学中经常用弹性函数研究函数的相对变化率和相对改变量.一般的，如果函数存在导函数，称为函数的弹性函数，下列说法正确的是（）A．函数（为常数）的弹性函数是B．函数的弹性函数是C．D．【答案】ABD【解析】【分析】利用题目中的定义和导数的运算逐一判断即可.【详解】对于A，，即A正确；对于B，，即B正确；对于C，而，二者不相等，即C错误；对于D，即D正确故选：ABD【点睛】本题是一道新定义的题，考查了学生的分析能力和转化能力...