4.1.3球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4-1-5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4-1-6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4-1-6所示．2222，r＋zx＝＋yx＝rsin_θcos_φ，y＝rsin_θsin_φ，z＝rcos_θ.3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O-xyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.图4-1-7页1第4．直角坐标与柱坐标之间的关系，θ＝ρcosx??，θρsiny＝?.＝zz[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ(ρ为不等于0的常数)，θ＝θ，z＝z0000分别表示什么图形？【提示】在极坐标中，方程ρ＝ρ(ρ为不等于0的常数)表示圆心在极点，00半径为ρ的圆，方程θ＝θ(θ为常数)表示与极轴成θ角的射线．而在空间的柱0000坐标系中，方程ρ＝ρ表示中心轴为z轴，底半径为ρ的圆柱面，它是上述圆周00沿z轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ表示与zOx坐标面成θ角的半平面．方00程z＝z表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示．0常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标页2第3π3π??，，??的直角坐标为M，则点(1)已知点M的球坐标为44??________．π??7，，2??(2)设点M的柱坐标为．，则点M的直角坐标为________6??，z)，M【自主解答】(1)设(x，y3π3π＝－1，＝则x2sin·cos443π3π1，2y＝×sin×sin＝443π2.＝－×z＝2cos4，－2)即M点坐标为(－1,1．)，(2)设M(x，y，zπ3x则＝2×cos，＝6π7.＝×y＝2sin＝1，z6．即M点坐标为1,7)(3，1,7)(2)(－1,13，－2)，【答案】(1)(][再练一题π??8，，4??，则它的直角坐标为________．的柱坐标为1．(1)已知点P3??π3π??，4，??，则它的直角坐标为________的球坐标为(2)已知点P．44??(1)由变换公式得：【解析】π，x＝4cos＝23π8.，z＝＝y4sin＝233．3(2,2，8)P∴点的直角坐标为(2)由变换公式得：页3第π3π2，sinθcosφ＝4sincos＝x＝r44π3π，sinθφ＝4sinsin＝2y＝rsin443π2.2＝rcosθ＝4cos＝－z422)∴它的直角坐标为(2,2，－．2)(2)(2,2，－2(1)(2,23，8)【答案】将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标建立空间直角坐84-1-的棱长为CD1，如图已知正方体ABCD-AB1111的直角坐标、柱坐标以及球坐标．为极轴，求点CA—xyz，Ax标系181-图4-柱坐标系以及球坐标系的意解答本题根据空间直角坐标系、【思路探究】义和联系计算即可．(1,1,1)，C【自主解答】点的直角坐标为1)，φ，θ)θ...