课时21垂直关系模拟训练（分值：60分建议用时：30分钟）1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C2．下列命题：①⇒a⊥b;②⇒b⊥α；③⇒a⊥b;④⇒a⊥α；⑤⇒b⊥α；⑥⇒b∥α.其中正确命题的个数是()A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】因为a⊥α，则a与平面α内的任意直线都垂直，∴①正确；又若b∥α，a⊥α，由线面平行的性质及空间两直线所成角的定义知，a⊥b成立，∴③正确；两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也垂直于这个平面，∴②正确；由线面垂直的判定定理知④错；a∥α，b⊥a时，b与α可以平行、相交(垂直)，也可以b⊂α，∴⑤错；当a⊥α，b⊥a时，有b∥α或b⊂α，∴⑥错．3.如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【失分点分析】面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.4．已知直线a⊂平面α，直线AO⊥α，垂足为O，AP∩α＝P，若条件p：直线OP不垂直于直线a，条件q：直线AP不垂直于直线a，则条件p是条件q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线OP⊥直线a⇔直线AP⊥直线a，即┐p⇔┐q，则p⇔q.5．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C，则BD与平面ABC所成角的正切值为()A.B.C.1D.【答案】B【解析】如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE，因为二面角B—AD—C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝，故选B.【规律总结】求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影.6.在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为【答案】【规律总结】找二面角的平面角常用的方法有:(1)定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线.7．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．【答案】①③④⇒②(或②③④⇒①)【解析】由题意构造四个命题：(1)①、②、③⇒④(2)①、②、④⇒③(3)①、③、④⇒②(4)②、③、④⇒①易知(1)、(2)是错误的，(3)、(4)是正确的．8．如下图，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是______________．(写出所有符合要求的图形序号)【答案】①④⑤9.如图(1)，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，如图(2)，将△ABE沿AE折起，使二面角B—AE—C成直二面角，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点.(1)求证：AE⊥BD；(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；(3)判断DE能否垂直于平面ABC？并说明理由.【分析】由条件可知△ABE为正三角形，要证AE⊥BD，可证明AE垂直于BD所在的平面BDM，即证AE⊥平面BDM；可用判定定理证明平面PEF⊥平面AECD；对于第(3)问可采用反证法证明.【解析】(1)证明：取AE中点M，连接BM，DM. 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，△ABE与△ADE都是等边三角形.∴BM⊥AE，DM⊥AE.[知识拓展]翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形中各个对应元素的相对变化，元素间大小与位置关系，哪些不变，哪些变化，这是至关重要的.10．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，CD＝AB，G为线段AB的中点，将△ADG沿GD折起，使平面ADG⊥平面BCDG，...