考点04利用函数的图像探究函数的性质（2）【知识框图】【自主热身，归纳提炼】1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y＝0得f(x)＝m.令y＝f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈.2、(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝|x2－6|，若a>b>0，且f(a)＝f(b)，则a2b的最大值是________．【答案】16【解析】作出函数f(x)图像，如下图：则0<b<<a，由f(a)＝f(b)，所以|a2－6|＝|b2－6|，则a2－6＝6－b2，所以a2＝12－b2，则b＝(12－b2)b，设函数g(b)＝(12－b2)b＝－b3＋12b(0<b<)，g′(b)＝－3b2＋12＝3(2＋b)(2－b)，令g′(b)＝0，则b＝2，当b∈(0，2)时，g′(b)>0，g(b)递增，当b∈(2，)时，g′(b)<0，g(b)递减，所以g(b)的最大值为16，则a2b的最大值是16.处理双元变量的最值问题，常用消元法，转化为单元变量的函数来处理，特别注意的是，要注意写准函数的定义域．3、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝若存在x0<0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．【答案】[－1，0)本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路：思路1.对两段函数分别研究图像和性质，由于研究的是x<0的情形，故分a≥0和a<0两种情况讨论，当a≥0时，结论易得；当a<0时，由于x<a时，f(x)单调递增，而f(a)＝a3－a，故要对f(a)＝a3－a的正负分三种情况讨论，最后总结，问题得以解决．思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题f(x)＝x3－3|x－a|－a，从而问题转化为y＝x3和y＝3|x－a|＋a的图像在y轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论．解法1(分类讨论法)当a≥0时，只考虑x<a的情形，f′(x)＝3x2＋3>0，f(x)在(－∞，a)上单调递增，而f(0)＝－4a≤0，显然不存在x0＜0，使得f(x0)＝0，所以a≥0不成立．当a<0时，当x<a时，f(x)在(－∞，a)上单调递增，且f(x)<f(a)＝a3－a，当x≥a时，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，①当a3－a＝a(a2－1)>0，即－1<a<0时，则必存在x0<a，使得f(x0)＝0，结论成立；②当a＝－1时，f(－1)＝0，结论成立；③当a<－1时，f(x)在[a，－1)上单调递增，在(－1，0)上递减，而f(－1)＝2a＋2<0，结论不成立．综上实数a的取值范围是[－1，0)．解法2(图像法)函数f(x)＝x3－3|x－a|－a，由题意可得y＝x3与y＝3|x－a|＋a在y轴左侧有交点．y＝3|x－a|＋a的顶点为(a，a)，在直线y＝x上，由解得x＝－1.又y＝x3在x＝－1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a∈[－1，0)本题解法1属于常规思路，解法2对函数式的化简和变形提出了很高的要求，其中y＝3|x－a|＋a是折线函数，是由y＝3|x|图像在y＝x上滑动所形成的图形，对于此类题型，同学要多总结，多积累，才能灵活应用．4、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝若存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，①当x∈[－1，k]时，f(x)＝log(－x＋1)－1，它在[－1，1)上是单调递增的，且f(－1)＝－2，f＝0，因为该函数在[－1，a]上的值域为[－2，0]，所以必须有－1<k≤；②当x∈(k，a]时，f(x)＝－2|x－1|，在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝f(2)＝－2，f(1)＝0，因为函数的值域为[－2，0]，所以必须有0≤k<a≤2.综合①②，要求存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则必须0≤k≤<a≤2.所以实数a的取值范围为.5、(2018镇江期末）已知k为常数，函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．【答案】∪(－e，－1)【解析】作函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y＝f(x)(x>1)相切，设切点(x0，lnx0)，则切线斜率为k＝，又k＝，则＝，解得x0＝e3，此时k＝，当k<0时，当y＝kx＋2与曲线y＝相切于点(0，2)时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k＝－1，当－1<k<0时，函数y＝f(x)和y＝kx＋2的图像只有三...