考点12平面向量的线性表示【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2019无锡期末）在四边形ABCD中，已知AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，其中，a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．2、（2017年苏州期末）设与是两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则．3、（2017徐州期末）在中，若点，，依次是边上的四等分点，设，，用，表示，则．4、（2016年南通一模）如图，在中，，分别为边，的中点.为边上的点，且，若，，则的值为.5．（2017泰州期中）如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则_______，___________．ABCO．6、（2016年苏北四市联考）如图，一直线与平行四边形的两边分别交于两点，且交其对角线于，其中，，，，则的值为．【问题探究，变式训练】题型一向量的共线定理与平面向量的线性运算知识点拨：注意平行四边形法则和三角形法则的灵活运用。例1、(2018南京学情调研）设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b.若a∥c，则实数x的值是________．【变式1】、(2017南京学情调研）已知向量a＝(1,2)，b＝(m,4)，且a∥(2a＋b)，则实数m的值为________．ABCDEFK【变式2】、(2017苏州暑假测试）设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(2，y)，且a＋2b＝(5，－3)，则x＋y＝________.【变式3】、、已知点C，D，E是线段的四等分点，为直线外的任意一点，若，则实数的值为．【关联1】、(2016南京、盐城、徐州二模）已知为的外心，若，则=．【关联2】、在△ABC中，∠C＝45°，O是△ABC的外心，若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________．题型二平面向量的基本定理的应用知识点拨：运用平面向量基本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法和减法数乘。要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质，如平行和相似。例2、(2019苏北四市、苏中三市三调）如图，正六边形中，若（），则的值为▲．【变式1】、(2019泰州期末）已知点P为平行四边形ABCD所在平面上一点，且满足PA＋PB＋2PD＝0，λPA＋μPB＋PC＝0，则λμ＝________．【变式2】、、在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若AO＝xAB＋yAC(x，y∈R)，则x＋y的值为________.【变式3】、如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【变式4】、（2017苏州期末）在中，，若，则的值为．【关联1】、（2016年南通一模）如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为．EABCDEF（第1题）ABC623.5（第2题）【关联2】、（2017年江苏卷）如图,在同一个平面内，向量、，的模分别为1,1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若,则的值为____________．题型三平面向量基本定理的综合运用知识点拨：向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化．基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法．例3、（2017年苏州一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足AP＝mAB＋nAD(m，n均为正实数)，则＋的最小值为________．ABCD�OCGACBO【变式1】、（2017年徐州联考）如图，经过的重心G的直线与OA，OB交于点P，Q，设，，，则的值为．【变式2】、（2017泰州期末）如图，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC＝1，A＝120°，E，F分别是边AB，AC上的点，且AE＝mAB，AF＝nAC，其中m，n∈.若EF，BC的中点分别为M，N，且m＋4n＝1，则的最小值为________．【关联1】、（2018年南通二模）已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足AQ＝AP＋AC，则|BQ|的最小值是________.【关联2】、（2016年扬州检测）在中，为边上一点，且，为上一点，且满足，求的最小值．ABCEP