8.6.3平面与平面垂直的性质导学案编写：廖云波初审：谭光垠终审：谭光垠廖云波【学习目标】1.记住平面与平面垂直的性质定理，并能应用定理解决有关问题2.能综合运用直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质解决有关问题【自主学习】知识点1平面与平面垂直的性质定理1．文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．2．符号语言：⇒a⊥β.3．图形语言：【合作探究】探究一面面垂直性质定理的应用【例1】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.[分析]解答本题可先由面面垂直依据面面垂直的性质定理得线面垂直．[证明]连接BD， 四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形． G是AD的中点，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.归纳总结：证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：1两个平面垂直；2直线必须在其中一个平面内；3直线必须垂直于它们的交线【练习1】如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠PBC＝90°，∠PBA≠90°.求证：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAB.证明：(1)因为BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.(2)如图，自P点作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH.因为∠PBC＝90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH＝P.因为PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB.探究二垂直关系的综合应用【例2】如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥平面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.[证明](1)因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形．所以BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥平面ABCD.所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.归纳总结：掌握线线、线面、面面垂直的性质和判定是三种垂直相互转化的关键.由线面垂直可知线与面内任何一条直线都垂直；由线面垂直亦可得到面面垂直面面垂直的判定.因此说线面垂直是线线垂直和面面垂直的枢纽【练习2】如图所示，四棱锥PABCD的底面是一个直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，则平面EBD能垂直于平面ABCD吗？请说明理由．解：平面EBD不能垂直于平面ABCD.理由如下：假设平面EBD垂直于平面ABCD，过E作EO⊥BD于O，连接AO、CO. EO⊂平面EBD，EO⊥BD，平面EBD∩平面ABCD＝BD，∴EO⊥平面ABCD.又 PA⊥平面ABCD，∴EO∥PA. A、O、C是PC上三点P、E、C在平面ABCD上的投影，∴P、E、C三点的投影均在直线AC上，∴A、O、C三点共线．又 E是PC的中点，∴O是AC的中点．又 AB∥CD，∴△ABO∽△CDO.又 AO＝OC，∴AB＝CD，这与CD＝2AB矛盾，∴假设不成立．故平面EBD不能垂直于平面ABCD.课后作业A组基础题一、选择题1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α【答案】B解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面...