例1、如下图，正四棱锥S-ABCD的高S0二2,底边长AB=d求杲面直线BD和探析法向量在立体几何解题中的应用江西九江都昌二中江训清周明电话:13879282060摘要：传统的立体几何普遍给人一种难、杂、乱的印象，引入了法向量这一特殊的工具以后，很多传统的立体几何问题，包括证明求角、距离以及证明平行与垂直的题目，都能轻而易举地解决，本文就是在这方面作了深入的研究。关键词：法向量、角、距离随着人们对向量认识的加深，向量已经成为了一•个解决问题的工具，事实证明，向量在立几、解几甚至三角、不等式中都有广泛的应用。而法向量更是由于其特殊的性质而成为解决传统的立体儿何问题的一个特殊工具，使得表面上非常复杂的求角与距离的题H甚至是证明平行与垂直的题H变得简洁明了。-、用法向量求异面直线间的距离如右图所刀8、b是两界面直线，斤是a和b的法向量，点EGa,Feb,贝U异面直线8与b之间的距离是EF•nd=_n则严帀"n-CS=0X=—yfly=y/2/.n=(-V2,V2,l)・••.异面令向量n=(x.yA)SC之间的距离.分析：建立如图所示的直角坐标系，则人(¥厂¥'。)，b(半半C(一冬冬。)，D0)2222S(0,0,2)・:.~DB=(V2,V2,0),(兀,y,l)•(血，血,())=()尢+)，=()(尤,)‘,1)•(老，-咅,2)=0x-y+25/2=0"丄DB,n丄CS；0,1)、N(2,2,1)依公式得并面直线CM与D.N的距离是二、用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面•条斜线，刃为平而u的法向量,AB-nn直线BD和SCZ间的距离为:OCn\（-¥，¥，0•）（-迈，迈，1）=卩+1+0|_2亦"==|（-血",1）|一&旳+（厨我"M•例2、如下图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2,M、N分别为AA”BB】的中点,求（1）CM与DN的余弦值;（2）异而直线CM与DN的距离。（2004年广州调研试题）分析（2）：建立如图所示右手直角坐标系，则C（0,2,0）、U（0,0,2）、M（2,CM=(2-2,1),D\N=(2,2,—V)D}M=(2,0-1)设法向量刃=(兀,y,z)D}M-n22^5/♦15x=0则z=2y令A到平而a的距离为〃=例3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。分析：建立如图所示右手直角坐标系,则E（4,-2,0）,F（2,-4,0）,G(0,0,2),B(4,0,0),_z不妨设z二3,则〃二（L-L3）,所以依公式可得所求距离为BE二(0,-2,0)，EG=(-4,2,2),FG=(-2,4,2),设平面EFG的法向量n=(x,y,z),则由n-EG=O,n-FG=O得-4x+2y+2^二0t=>--2x+4y+2z=0贝lj由n・AE=O,n・PF=O得,2品x=0i=>V6x+V2y-2?=0不妨设防z二1,则n-(0,V2,rx二0Iy=\[2z1），所以依公式可得所求距离为肚・〃二|(0,-2,0)・(1,-1,3)|二2=2VHn|d-l,3)|=三、用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线丄一点到平面的距离问题。例4、已知边长为4血的正三角形ABC中，E、F分别为BC和AC的中点，PA丄面ABC,且PA二2,设平面a过PF且与AE平行，求AE与平面a间的距离。分析：因为AE〃平面ci,所以将AE与平面ci的距离转化成点A到平面ci的距离,建立如图右手直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,2),E(2a/6,0,0),F(76,V2,0),AE=(2亦,0,0),PF=(76,72-2),AF=(V6,V2,O),设法向量二(x,y,zAF•//|(76,V2,0).(0,V2,l)22V3h-(0,711)~V3-3U!、用法向量求两平行平面间的距离(2)求平面AB}C与平面A}C}D间的距离.分析(2):建立如图所示的直角坐标系,则A、D、A】、G的坐标分别是(1,0,0)、(0,0,0)、(1,0,1)、(0,h1),.•-DA}=(101),//DC、=(0」,1),AD=(1,0,0),将平面AB.CACQ间的距离转化成点A到平面州C£的距离。设平面A}C}D的一个法向量方=("1),则•丿(3，1)・(1O1)=0(x,.y,1)-(0,1,1)=0n=(-1,-1,1),平面ABQ与平面ACD间的距离AD-nd=—^―n|(_l,(),o).(-1,-1,1)|巧7(-1)2+(-1)2+123五、用法向量求二面角如图，有两个平面a与0,分别作这两个平面的法向量恳与石，则平而u与B所成的角跟法向量刃］与石所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。例6、如下图，在梯形ABCD中,AD〃BC,AB丄BC,AB=a,AD=3a,sinZADC=—,首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。例5、棱长为1的正方体ABCD-A1BIC,DI,|,.(1)求证：平而ABiC〃平而ACD;AiBC----------...