关于ax≡b(modm)的解法1．当（a,m）1时：(1)若a,b<m,(a,b)=1且模数较大，可取余，将a变小，然后求出解。eg:121x87(m0d257)因为(121,257)=1,所以有一个解，x=194(mod257)(2)若a,b<m,(a,b)=1且模数较小，用欧拉公式；eg:7x5(mod10)因为（7,10）所以有一个解。（3）若（a,b）=1,且a,b中至少有一个大于m，利用同余知识，将a,b化小再用（1）（2）式去解（4）若（a,b）约去两端的公因数；再用（1）（2）（3）式去解。Eg:58x87(mod47)2当（a,m）=d>1时:用d去除同于式，再用（a,m）=1去解<1>同余取倍法：（期刊-核心期刊和田师专科学校学报）JOURNALOFHOTANTEACHERSCOLLEGE2009年第03期<2>一次同余式的初等变换解法：（山西大学学报：自然科学版）——袁虎延<3>一次同余式的逐级满足法<4>观察法解一次同余式<5>Euler定理解一次同余式<6>把同余式化为不定方程的解法<7>减少模数的方法解一次同余式<8>欧几里得法解一次同余式<9>分式法解一次同余式<10>威尔逊定理算法解一次同余式<下面仔细介绍>代数/数论/组合理论/《.黑龙江科技信息》2008年19期》摘要一次同余式解法的特点及其分析——作者：李婷只讨论（a,m）=1时，同余式axb(modm)有以下七种解法（一）（1）观察法：在模m的完全剩余系0,1，、、、，m-1中考虑同余式的解1.，当m较小时，可用观察法，直接快速的得出方程的解eg2x1(mod3)因为（2,3）=1所以有一个解，x2(mod3)为其解2．当系数较大时，可用同余性质，将同余式系数减小，而且用带余除法定理，保证系数在一个固定范围内作为模m的系数，进而用观察法，可快速得到方程的解。（二）Euler定理;设m是大于1的整数，（a,,m）=1，则a（modm）由Euler定理，有a（modm）,而ax≡b(m0dm)可得axba（modm）xba(modm)为所求的解。eg:8x9(mod11)解;(11)=10,8x8．9(-2)(-3)≡6.9≡6.(-2)≡6.2≡6.5≡8（mod11）缺点：当m较大时，求（m）便涉及到m的标准分解，较复杂，不宜进行计算机编程计算，所以此种方法更适合m较小时或者（m）较易求解时，（三）化为不定方程的解法：ax≡b(modm)有解整数，x,y,使得ax-b=my即不定方程ax-b=my有解。Eg;8x≡9(mod11)解；原方程对应的不定方程为：8x-11y=9,其通解为（tN）X=5+8tx≡8(mod11)优点：这种方法对模m的要求低，而且易于利用计算机编程来求解。四：减少模数的方法对于ax+b≡0（modm）①0<a,b<max+b=mymy≡b（moda）②此时，a<m,然后去掉m=k*a+c*b=p*a+d中a的倍数。cy≡d(moda),不断将模变小，此时，若②有解y0,则x≡my-b/a为①的解，而②中模数显然（m）小，经过n次转换一般可以用观察法求解，再递推出原方程的解。Eg:求325x≡20(mod161)解：原同余式即是3x≡20(mod161)解同余式161y≡-20（mod3）2y≡1（mod3）y≡2(mod3原同余式的解是：x≡20+2*161≡114(mod161)优点：这种方法在于将大模化为小摸，从而减小计算量，所以此方法适合模数较大时。五，欧几里德（a,m）=1时，可借用辗转相除法求整数的最大公因式地方法，结合同余式的性质，可转化为一个形如x≡r(modm),的解方程达到求解的目的，即当m>a时，利用恒等变形将a变小，直至x的系数变为1,。Eg:103x≡57(mod211)解：（103,211）=1原同余式有唯一解，而211=2*103+5于是2*103x≡114（mod211）①且211x≡0（mod211）②由x≡0(mod211)②-①:5x≡-114≡97(mod211)③又211=42*5+1而425x≡42*97=65（mod211）④由②-④：x≡-65≡46(mod211)六：分式法先把ax≡b(modm)写成x≡b/a(modm)的形式注意：①b/a只是一种形式符号②对b/a的分子，分母乘以不为零的整数or约去一个与模m互素的数，否则所得出的结果可能不是原同余式的解。然后同与m互素的数陆续的乘右端的分子与分母，目的在于把分母的绝对值变小，直到变为。Eg:37x≡25（mod107）解：（37,107）=1方程有唯一解为x25/3725*3/37*375/111(75-107)/(111-107)-32/4-899(mod107)[优点]这种方法给出了一些用同余式的一种形式解，较直观，但这种方法只适用于模m不太大，三位或三位内的时候较方便。<七>威尔逊定理算法【（p-1）!+10(modp)】axb(modp),(a,p)=1,0<a<p,p为素数，由wilsonTh,ax-b(p-1)!(modp)x-(p-1)!/a*b(modp)与欧拉方法解法一样，此种解法也是给出...