数列易错题型和解析技巧摘要：本文列举了几个数列易错题型，并归纳总结了相应的解析技巧，希望能对学生更好地学习数学提供帮助。关键词：数学学习；易错题型；解析技巧分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711(2013)13-0117在解数列题时，常常发生一些错误，可能的原因有对概念的理解模糊不清、证明时以特殊代替一般、遗漏特殊情况、忽略隐含条件、逻辑推理错误等。等差数列和等比数列有严格的额定义，学习时一定要认真体会其中的关键字；证明(或判断)一个数列是等比数列时，不能仅用前几项来证明或判断；使用公式时，不能忽略了特殊情况，不然会造成漏解；有些题目中，往往有隐藏条件，隐藏条件有两种：一种是给出的数列本身就有的，一种是在题设中隐藏的；而逻辑推理错误主要表现在：一是假设错误，二是没有根据的猜测。例1.已知等比数列｛an｝的前4项之积为1/16，第二，三项之和为，求这个等比数列的公比。错解：由题意可设前4项分别为a/q3，a/q,aq,aq3,则有a4=l/16,a/q+aq=;解得q=±l,或q=_±l,故原数列的公比为q2=3+2，或q2=3—2.错因：设元时与题中条件不等价导致出错。按错解中的设法，等比数列公比为Q2，q2>0,各项一定同号，而原题中并无此条件。正解：设前4项分别为a，aq，aq2,aq3,则a4q6=l/16,aq+aq2=;•••(1+q)4=64q2。当q〉0时，可得q2_6q+l二0,...q:3±72;当qal，即f(2)〉f(1)，没有必要一定要求f(x)=x2+Xx在[1，2]上递增.正解一：•••(n，an)是二次函数f(x)=x2+入x上的点，且函数f(x)开口向上，对称轴为X=-X/2,由题意可知f(2)〉f(1)，/.-X/2-3.正解二：•••｛an｝是递增数列，•••an+l>an(n>l)，即(n+1)2+入(n+1)〉1^2+人1^，得人〉—2n—1，•••入〉(―2n—1)max-_3例3.已知两个等差数列｛an｝，｛bn｝，(al+a2+.+an)/(bl+b2+……bn)=(7n+2)/(n+3),求a5/b5.错解：由(al+a2+......+an)/(bl+b2+.....bn)=(7n+2)/(n+3),可设Sn=al+a2+.....+an二k(7n+2),Tn=bl+b2+...bn=k(n+3),其中k为不等于零的常数，Aa5=S5-S4=k(7X5+2)-k(7X4+2)二7k,b5二T5-T4二k(5+3)-k(4+3)二k,•••a5/b5=7k/k=7.错因：犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前n项和的公式特征认识不到位。错解的设法的前提是数列｛an｝和｛bn｝的前n项的和都是n的一次式。事实上，当公差d其0时，等差数列｛an｝的前n项和Sn=nal+n(n-l)d/2=dn2+(al-d/2)n,是二次式；当等差数列是常数列，即公差d=0时，其前n项的和Sn=nal是没有常数项的一次式，都不是题中所设的形式。正解一：设Sn=al+a2+............+an=kn(7n+2)，Tn=bl+b2+...+bn=kn(n+3),其中k为不等于零的常数，•••a5=S5-S4=k•5(7X5+2)-k•4(7X4+2)二65k，*/b5二T5-T4二k•5(5+3)-k•4(4+3)=12k，•••a5/b5=65/12。正解二：设Sn=al+a2+.....+an，Tn=bl+b2+...+bn，•-*｛an｝,｛bn｝为等差数列，•••S2n-1二(2n~l)an,T2n-1=(2n_l)bn,•••a5/b5二9a5/9b5二S9/T9二65/12.例4.设数列｛an｝的前项和为Sn=n2+2n+4(nEN*)，求这个数列的通项公式.错解：VSn=n2+2n+4,Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+4,/.an=Sn-Sn-l=2n+l(n^N*).错因：没有n=l分析的情况，以偏概全，误认为在neN*的情况下都有an=Sn-Sn-l.正解：n二1时,al=sl=7；n^2时an=Sn-Sn-l=2n+l，•••数列的通项公式为an=7(n=l)；an=2n+l(n^2).例5.已知数列｛an｝的首项al=5，前n项的和为Sn，且Sn+l=2Sn+n+5(nEN*).证明｛an+l｝是等比数列.错解：由已知可得Sn+l=2Sn+n+5,Sn=2Sn-l+n+4，两式相减得Sn+l_Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1+l二2(an+l),•••｛an+l｝是以2为公比的等比数列.错因：由Sn+l=2Sn+n+5得到Sn=2Sn-l+n+4时，忽略了其中隐含了n^2的条件，从而遗漏了对n=l的情况的证明.正解：当n=l时，S2=2Sl+l+5，.\al+a2=2al+6.•••al=5，/.a2=ll，/.a2+l=2(al+1)；当n彡2时，Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1，即an+1+1二2(an+l).故总有an+1+1=2(an+l)(n^N*),即｛an+l｝是以al+l=6为首1页，2为公比的等比数列.例6.设等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn,若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，求q的值.错解：已知Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，由等比数列前n项和的公式可得al(1-qn+l)/(1-q)+al(1-qn+2)/(1—q)-2al...