第37练平面向量小题综合练[基础保分练]1.(2019·温州模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知α是锐角，a＝，b＝，且a∥b，则α为()A.15°B.30°C.30°或60°D.15°或75°3.已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若(a－2b)⊥c，则k等于()A.2B.2C.－3D.14.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AE＝2EO，则ED等于()A.AD－ABB.AD＋ABC.AD－ABD.AD＋AB5.已知非零向量a，b，满足|a|＝|b|，且(a＋b)·(3a－2b)＝0，则a与b的夹角为()A.B.C.D.π6.(2019·湖州模拟)已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为()A.1B.C.D.7.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的()A.重心B.垂心C.外心D.内心8.(2019·台州模拟)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为()A.B.C.4D.59.(2019·嘉兴期末)Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则CD·CA＝__________；若CD＝xCA＋yCB，则xy＝________.10.如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一点P，若OC＝mOA＋2mOB，AP＝λAB，则λ＝____________.[能力提升练]1.如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，则AO·BC等于()A.B.3C.2D.2.在△ABC中，E为AC上一点，AC＝3AE，P为BE上任一点，若AP＝mAB＋nAC(m>0，n>0)，则＋的最小值是()A.9B.10C.11D.123.设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于()A.1B.C.D.24.在平面内，定点A，B，C，O满足|OA|＝|OB|＝|OC|，OA·OB＝OB·OC＝OC·OA＝－2，动点P，Q满足|AP|＝1，PQ＝QC，则4BQ2－37的最大值是()A.12B.6C.6D.25.(2019·丽水模拟)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，点E和点F分别在线段BC和DC上，BE＝λBC，DF＝DC，则AE·AF的最小值为________.6.(2019·学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0<λ<1，若b·c＝0，则|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为________.答案精析基础保分练1.D2.C3.C4.C5.A6.D7.D8.B9.410.λ＝能力提升练1.D[取BC的中点为D，连接OD，AD，则OD⊥BC，又AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋DO·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝，故选D.]2.D[由题意可知AP＝mAB＋nAC＝mAB＋3nAE，A，B，E三点共线，则m＋3n＝1，据此有＋＝(m＋3n)＝6＋＋≥6＋2＝12，当且仅当m＝，n＝时等号成立.综上可得＋的最小值是12，故选D.]3.D[设OA＝a，OB＝b，OC＝c,因为a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，①当O为△ABC外接圆圆心时，|c|＝|a|＝|b|＝1，②当O，A，B，C四点共圆时，因为AB＝b－a，|AB|2＝(b－a)2＝b2＋a2－2a·b＝3，所以AB＝，由正弦定理知2R＝＝2，即过O，A，B，C四点的圆的直径为2，所以|c|的最大值等于直径2，故选D.]4.A[由题意得OA·OB－OB·OC＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，同理OC⊥AB，OA⊥BC，∴O是△ABC的垂心，又|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O为△ABC的外心，因此，△ABC的中心为O，且△ABC为正三角形，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，以O为原点，建立如图所示平面直角坐标系，易得|OA||OB|cos120°＝－2，∴|OA＝|OB|＝2，∴B(－，－1)，C(，－1)，A(0,2)，设P(x，y)，∵|AP|＝1，∴x＝cosθ，y＝2＋sinθ，0≤θ<2π，∵PQ＝QC，∴Q为PC的中点，∴Q，∴|BQ|2＝2＋2，∴4|BQ|2＝(3＋cosθ)2＋(3＋sinθ)2＝37＋12sin，∴4|BQ|2－37＝12sin≤12，故选A.]5.解析方法一∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，∴CD＝1，BA·BC＝2×1×cos60°＝1，AE·AF＝(BE－BA)·(AB＋BC＋CF)＝(λBC－BA)·＝(λBC－BA)·＝(λBC－BA)·＝λ＋λ－1－×4＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.方法二∵AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝1，∴CD＝1，以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，易得A(0,0)，B(2,0)，D，C，AE＝AB＋λBC＝(2,0)＋λ＝，AF＝AD＋DC＝＋(1,0)＝，∴AE·AF＝·＝＋＝1＋－－＋＝＋＋≥，当且仅当λ＝时取等号.6.－3解析建立如图所示的平面直角坐标系，设OA＝a，则A在以O为圆心半径为3的圆上运动.设OB＝b，OC＝c，则CB＝b－c，取D∈BC，设DB＝λ(b－c)，则CD＝(1－λ)(b－c)，取E∈OC使得EC＝c，则|a－b＋λ(b－c)|＝|OA－OB＋DB|＝|DA|，＝|EC＋CD|＝|ED|，∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝|ED|＋|DA|，作点E关于BC的对称点E′，则|ED|＝|E′D|，由E(0,2)易得E′(3,5)，∴|a－b＋λ(b－c)|＋＝|E′D|＋|DA|≥|E′A|≥|E′O|－3＝－3，且知当A，D在线段OE′上时取等号，∴|a－b＋λ(b－c)|＋的最小值为－3.