问题23利用方程思想求解数列问题一、考情分析数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在数列学习过程中得以较为充分的体现，数列中的绝大部分计算题都可看作方程应用题，特别是求数列中的基本量都可转化为关于基本量的方程或方程组.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。二、经验分享(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。(3)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(4)为使问题有确定的解应使变量个数与方程组的个数相等三、知识拓展在列方程时除了利用等差等比数列的通项公式及前n项和公式，有时还要用到以下结论：(1)在等差数列中an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。(2)在等比数列中an＝am·qn－m(n，m∈N*)．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。四、题型分析(一)方程思想在等差数列中的应用【例1.】已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。【分析】列出关于a1与d的方程组，求出a1与d，再求a9.【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意可得，解得则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.【点评】数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算.因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。∴或解得或籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故选D.【小试牛刀】【山东济南外国语学校2019届1月模拟】已知等差数列的公差为成等比数列，则的前n项和()預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。A．B．C．D．【答案】A【解析】 等差数列{an}的公差为2，a2，a3，a6成等比数列，∴（a1+4）2＝（a1+2）（a1+10），解得a1＝﹣1，∴{an}的前n项和Snn+n2﹣n＝n2﹣2n＝n（n﹣2）．故选A．(四)构造一元二次方程求解数列问题【例5】已知等差数列{na}满足，则3a的取值范围是【分析】构造关于3a的一元二次方程【点评】含有双变量的等式可看作关于其中一个变量的方程，利用方程思想求解【小试牛刀】已知数列为正项的递增等比数列，，记数列的前n项和为，则使不等式2018成立的最大正整数n的值为（）渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】设正项的递增等比数列{an}的公比为q＞1， a1+a5＝82，a2•a4＝81＝a1a5，所以1,5aa是方程，解方程得a1＝1，a5＝81．∴q4＝81，解得q＝3．∴an＝3n﹣1．∴数列的前n项和为Tn＝2＝223（1）．则不等式化为：20181，即3n＜2018． 36＝729，37＝2187．∴使不等式成立的最大正整数的值为6．故选B．五、迁移运用1．【山东济南2019届期末】已知等差数列的前项和为，若...