高考数学压轴小题训练：函数与导数一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．（3分）（2014•海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）2．（3分）已知函数f（x）满足：f（1）=，f（x+y）+f（xy﹣）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（i）=（）A．﹣1B．0C．D．13．（3分）（2010•温州一模）已知函数f（x）满足f（1）=a，且f（n+1）=，若对任意的n∈N*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（3分）（2014•安徽模拟）定义在R上的函数y=f（x），满足f（4x﹣）=f（x），（x2﹣）f′（x）＜0，若x1＜x2，且x1+x2＞4，则有（）A．f（x1）＜f（x2）B．f（x1）＞f（x2）C．f（x1）=f（x2）D．不确定5．（3分）已知函数f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且在区间[3，7]上是增函数，在区间[4，6]上的最大值为1007，最小值为﹣2，则2f（﹣6）+f（﹣4）=（）A．﹣2012B．﹣2011C．﹣2010D．20106．（3分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2x﹣），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）•f′（x）＜0，a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a7．（3分）（2014•南昌模拟）已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（﹣x）=f﹣（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x1+x2＜4且（x12﹣）（x22﹣）＜0，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．可能等于0D．可正可负二、填空题（共3小题，每小题3分，满分9分）8．（3分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（xy﹣）（x，y∈R），则f（2010）=_________．9．（3分）（2011•郑州二模）设f（x）是R上的奇函数，且f（﹣1）=0，当x＞0时，（x2+1）f′（x）﹣2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为_________．10．（3分）（2010•济南一模）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有，且f（﹣1）=1，f（0）=2﹣，则f（0）+f（1）+…+f（2010）=_________．2013年高考数学压轴小题训练：函数与导数参考答案与试题解析一、选择题（共7小题，每小题3分，满分21分）1．（3分）（2014•海口二模）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）考点：函数的单调性与导数的关系；奇偶函数图象的对称性；其他不等式的解法．菁优网版权所有专题：综合题；压轴题．分析：首先根据商函数求导法则，把化为[]′＜0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在（0，+∞）内单调递减；再由f（2）=0，易得f（x）在（0，+∞）内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f（x）在（﹣∞，0）内的正负性．则x2f（x）＞0⇔f（x）＞0的解集即可求得．解答：解：因为当x＞0时，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）内单调递减．因为f（2）=0，所以在（0，2）内恒有f（x）＞0；在（2，+∞）内恒有f（x）＜0．又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以在（﹣∞，﹣2）内恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）内恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案为（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故选D．点评：本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征．2．（3分）已知函数f（x）满足：f（1）=，f（x+y）+f（xy﹣）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（i）=（）A．﹣1B．0C．D．1考点：抽象函数及其应用；数列的求和．菁优网版权所有专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令x=1，y=0，可求得f（0）；再令y=1，可得f（x+1）=f（x）﹣f（x1﹣），f（x+2）=f﹣（x1﹣），从而可得函数f（x）是以6为周期的周期函数，分别求得f（i）（i=2，3，4，5，6）的值，利用其周期性即可求得f（i）．解答：解：令x...