1．已知双曲线及直线．（1）若直线与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若直线与双曲线交于，两点，是坐标原点，且的面积为，求实数的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，消去整理得，由题意知，解得且，所以实数的取值范围为．（2）设，，由（1）得，，又直线恒过点，①当时，；②当时，，典题温故圆锥曲线与方程寒假精练6所以，即，所以或，由（1）知上述的值符合题意，所以或．2．已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线，斜率分别为，，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）；（2）过定点，直线过定点．【解析】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）设点，的坐标分别为，，①当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得，；②当直线的斜率存在时，设方程为，联立，消去，得，由，有，由韦达定理得，，∴，，∴，故有，化简整理得，解得或，当时，直线的方程为，即，过定点不合题意；当时，直线的方程为，即过定点，综上，由①②知，直线过定点．一、选择题1．曲线与轴的交点坐标是（）A．B．C．D．或2．已知双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距等于，则经典集训（）A．B．C．D．3．已知椭圆的方程为，它的两个焦点分别为，，且，弦过，则的周长为（）A．B．C．D．4．抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为（）A．B．C．D．5．已知直线交于，两点，且线段的中点为，则的斜率为（）A．B．C．D．6．在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过点的直线交于，两点，且的周长为，那么的方程为（）A．B．C．D．7．已知，，分别在轴和轴上运动，为原点，，点的轨迹方程为（）A．B．C．D．8．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题9．抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标为．10．已知抛物线过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为．三、简答题11．求满足以下条件的双曲线方程．（1）以为渐近线，且经过点；（2）与椭圆共焦点且一条渐近线方程为．12．过抛物线的焦点作直线与抛物线交于，两点，当点的纵坐标为时，．（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线上存在点，使得，求直线的方程．13．已知椭圆的离心率，且椭圆过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点为椭圆的下顶点，，是椭圆上两个不重合的点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】令，得，所以，故曲线与轴的交点坐标是为．2．【答案】C【解析】由题意可知，且，解得，故椭圆的方程可化为，故其焦距或，解得或（此时方程不表示椭圆，舍去）．3．【答案】D【解析】 ，∴椭圆的焦点在轴，由，得，∴，∴，由椭圆的定义知的周长，．4．【答案】C【解析】抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线为，距离．5．【答案】A【解析】设，，由线段的中点，则，，则，两式相减得，∴，∴直线的斜率为．6．【答案】A【解析】依题意设椭圆的标准方程为，由，故，从而，，由的周长为，得，∴，故椭圆的标准方程为．7．【答案】A【解析】设动点的坐标为，，，由，得，∴，， ，∴，∴，即．8．【答案】A【解析】由题意得，设点，则，，当时，取得最大值．二、填空题9．【答案】或【解析】设，由于抛物线的准线为，由定义可得，解得，则，解得或，即点的坐标为或．10．【答案】【解析】设弦的中点为，并设点，，的坐标分别为，，，由题意有①，②，③，④，当时，①②得，∴，又 ，∴，∴，即，∴，当时，则点，满足上述轨迹方程，综上所述，弦的中点的轨迹方程为．三、简答题11．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设所求双曲线方程为，将点代入方程可得，则所求双曲线方程为，即．（2）由已知得椭圆的焦点为，由双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为，设所求的双曲线方...