代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题田云（西北师范大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730070）摘要：讨论代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程的增解与遗解问题.关键词:方程;增解;遗解中图分类号:O175.1Extraneoussolutionandofalgebraicequations，partsofthefirstorderdifferentialequationsandthefirstorderquasi-linearpartialdifferentialequationsTIANYun(CollegeofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070,Gansu,China)Abstract:Extraneoussolutionandproblemshavebeendiscussedforalgebraicequations,partsofthefirstorderdifferentialequationsandthefirstorderquasi-linearpartialdifferentialequationsKeywords:Equation;extraneoussolution;Decreasingroot在解代数方程、部分一阶常微分方程和一阶拟线性偏微分方程时，由于方程要进行某些非恒等变形，导致未知函数（变量）的取值范围扩大或缩小，从而产生增解和遗解的问题.在本文中，通过归纳总结并举例的形式，讨论这些方程的增解与遗解现象，并对其原因进行了分析探讨.一、代数方程的增解与遗解的问题当一个代数方程确定以后,未知量的取值范围也就确定了.在方程变形中若新方程的未知量取值范围扩大了就可能引起增解,反之引起遗解.方程两边同乘以含有未知量的因式时,会使原方程产生增解;方程两边同除以含有未知量的因式时,会使原方程产生遗解.为此,当方程两边不得不乘以或除以一个含有未知量的因式时,就必须验根.使所乘因式为零的未知量可能为增解,使所除因式为零的未知量可能为遗解.熟知代数方程包括整式方程，分式方程和无理方程[6]，下面分别对这几类方程讨论其增解或遗解现象，并分析导致这些现象的原因.1整式方程整式方程分为三类，一元一次方程、一元二次方程和高次方程.我们知道一元一次方程、一元二次方程不存在增解与遗解，而解高次方程的一般指导思想是转化思想，即通过因式分解或换元，把高次方程转化为一元一次或一元二次方程求解.因此，高此方程也不存在增解与遗解.进而整式方程不存在增解与遗解.2分式方程解分式方程的一般方法是去分母,在分式方程两边同时乘以各分式的最简公分母(即两边乘以含未知量的因式)约去分母,使分式方程转化为整式方程.因为当最简公分母等于零时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的量,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.因此,解分式方程时,必须将整式方程得到的解代入原方程进行检验.为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中检验,如果最简公分母不等于零,它就是原方程的根;如果最简公分母等于,它就是原方程的增解,必须舍去.【例1】解方程.解原方程等价于.方程两边同乘以最简公分母3)3)(2(2xx，得，整理,得，解得,.检验，把代入最简公分母，即当时，；而当32x时最简公分母3)3)(2(2xx为0,所以，x5是原方程的根，而是增解.结论：分式方程只存在遗解问题，而无增解问题.3无理方程解无理方程的一般解法是适当移项,两边同次乘方;化去根号最后使无理方理转化为有理方程.因为两边乘方相当于两边同乘以含有未知量的因式,故可能使未知量取值范围扩大,故有产生增解的可能,所以解无理方程要验根.【例2】解方程.解原方程可变形为，即，用十字相乘法,得，此方程可化为两个简单方程,（1.1）,（1.2）由方程（1.1）可得，由方程（1.2）可得.检验,把代入原方程,左边=0,右边=,左边右边；把x21代入原方程式,左边=,右边=－2,左边=右边.所以，=1是原方程的根,是增解.有些无理方程还可用某些特殊方法,如当经过整理的方程满足的形式时,即可使用合分比定理推出成立,从而得到一个较为简单的无理方程求解,故可能使未知量取值范围缩小,就可能有遗解产生.【例3】解方程.解由合分比定理,得,故4552xx，解得x3.在原方程中x可以等于2,但使用合分比定理后所得方程中,因此方程可能会遗解,要检验.当x2时,原方程左边,右边,左边右边,因此也是原方程的根.形如的方程的一般解法是,两边同时开方.因为两边开方相当于两边同除以含有未知量...