张思容微分同胚WILLMORE流的实现和分析#*（北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京市，100191）510152025303540摘要：本文首次研究并实现了微分同胚Wilmore流。本文工作是Zhang2008年微分同胚曲面流的深入研究。首先文中证明了其短时存在和唯一性，然后利用旋转曲面的分析和数值实验，考察其长期存在性和奇异点。结果显示微分同胚Willmore流可以避免经典Willmore流的自交奇异点和经典平均曲率流的pinchoff奇异点，是一个适用于对MRI图像得到的大脑皮层曲面进行优化的新的几何流工具。关键词：Willmore流，几何流，微分同胚。中图分类号：O186.1，TP391DiffeomorphicalWillmoreFlows:implementationandanalysisZHANGSirong(SchoolofMathematicalandSystemsScience,BeihangUniversity.)Abstract:Inthispaper,westudyandimplementthediffeomprphicWillmoreflows.ItisthefurtherworkfromdiffeomorphicsurfaceflowsofZhangetc2008.Firstweshowitsshortimeexistenceanduniqueness.Thenbynumericaltestsandanalysisofsurfacesofrevolution,westudythelongtimeexistenceandsingularities.Theresultshowesthatitcanavoidtheself-intersectionsingularityofclassicalWillmoreflowandthepinchoffsingularitiesoftheclassicalmeancurvatureflows.ItisanewandusefulgeometricflowtosmoothandoptimizebraincortexsurfacesextractedfromMRIbrainimages.Keywords:Willmoreflows,geometricflows，diffeomorphisms;0引言几何流(特别是曲面流)一方面是数学研究中几何分析中的一个重要领域，另一方面也是图像处理，计算机视觉和几何建模中的一个重要工具。本文继续作者在Zhang，etc【1】中引入的微分同胚曲面流工作，主要研究高阶几何流对应的微分同胚Willmore流。最近十年Willmore流一直是几何流中一个困难然而吸引人的主题。数学上它是一个四阶偏微分方程，相对于平均曲率流(二阶偏微分方程),没有极大值原理曲面流会产生自交现象给研究带来极大困难。参见【2，3】.然而应用上Willmore流没有平均曲率流的减小面积和过多光滑的缺点是曲面几何处理中的最期待的工具.计算和应用数学家提出了曲面有限元【4】,水平集【5】,离散Willmore流【6】等很多实现工具。但Willmore流产生奇异点和拓扑变化是不能绕过的困难。Zhang，etc【1】中引入了一类新的微分同胚曲面流.它借鉴计算解剖学中的微分同胚流，可以克服以上经典曲面流的可能产生的拓扑变化，同时有和经典曲面流一样或更好控制的曲面优化作用。微分同胚流是欧氏空间的微分同胚群(一个无穷维流形)中的一条曲线。给定合适的度量可以用于不同形状的比较。它的基本数学框架已经被Grenander和Miller等【7，8】确定。且已经成功应用于医学图像的标志点配对，曲线配对，曲面配对等【9，10，11，12】，在计算解剖学中获得极大成功。【1】中引入的微分同胚曲面流，它结合了经典曲面流和微分同胚流的优点，得到的曲面流既可以优化曲面，还可以保持曲面的拓扑不变，可以看成一基金项目：博士点新教师基金20101101120032作者简介：张思容（1973-），男，讲师，几何流和形状分析.zhangsirong@buaa.edu.cn-1-个光滑版的经典曲面流。本文将研究微分同胚WILLMORE流，是【1】中微分同胚平均曲率流研究的自然和必须延续。微分同胚平均曲率流更多的适用于曲面的光滑化，但是对形状的优化并无差别，特4550别是pinchoff奇异点很大的影响了曲面流的演化。Willmore流没有pinchoff奇异点,它和曲面Helfrich流，液体表面形状有密切的联系，有着更广泛的应用前景。本文的一个重要动机是将大脑图像中的充满噪音和形状突起的皮层曲面进行优化处理得到真实的大脑皮层曲面(神经科学意义上大脑皮层曲面应该是非常光滑的.)只有得到真实的皮层曲面，对不同人脑图像的数学和统计分析才有可能，当前大脑图像分析的重要困难都在于皮层曲面是高度折叠的很薄的光滑曲面，从MRI图像中很难得到精确的曲面，产生很多人造的误差影响神经科学的分析。我们在本文给出微分同胚WILLMORE流的初步结果。进一步的研究将是应用于皮层曲面的统计分析中。1数学背景551.1经典曲面流经典的曲面流是特定能量函数...