Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇Black-Scholes期权定价模型20世纪70年代初，衍生证券的革命在股票交易市场的研究群体中掀起。1973年，芝加哥期权交易所开始从事期权的交易。同一年，BlackandScholes（1973）和Merton（1973）发表了关于期权定价的奠基性的文章，Black和Merton也因此被授予1997年的诺贝尔经济学奖。Black-Scholes期权定价模型对金融市场作了一系列假设，主要有：⑴市场的无摩擦性，包括：①无税，无交易成本；②所有的资产可以无限细分；③没有卖空限制。⑵从时刻t＝0到t＝T，都可以以一相同的不变的利率借贷，利率按连续复利r计算。⑶期权是欧式的，即期权只能在到期日执行。⑷从时刻t＝0到t＝T股票不分红。⑸资产价格的变化服从上述的资产价格动力学模型，即遵循带漂移的几何布朗运动的规律：包括：①资产价格是连续变化的；②在整个期权生命期内，资产的预期收益和收益方差保持不变；③任何时间段的资产收益和其他时间段的收益互相独立；④任何时间段资产的复利收益率服从正态分布，即～。Black-Scholes期权定价模型采用的是典型的动态无套利均衡分析技术。在上述假设条件下，采取一种动态交易策略，来复制欧式买权到期末的现金流。即用份标的物股票的多头(即买入)和无风险证券的空头(即卖出)来复制一份期权，其中股票的价格为S，期权的价格为，是股票价格S和时间t的函数，无风险证券的价值为L，即动态的保持：即经过一段微小的时间dt，则有⑾因为f和L都是随机过程，我们应用Ito引理来计算它的随机微分：代入⑾式，有上式的右边，随机项Z不再出现，这意味着一份期权的空头和⊿份股票的多头能实现风险的完全对冲，而⊿的大小是动态调整的。所以，右边的二者组合和与之等值的无风险证券是完全等价的，即组合的收益率应当等于无风险收益率rf，有则整理后得：1Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇⑿上面的抛物线偏微分方程称为Black-Scholes方程，它刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。为了完成期权定价公式的推导，我们还要给出欧氏期权满足得边界条件：当时，对于买权，有；对于卖权，有其中X时期权指定得标的物的执行价格。根据边界条件，可以倒向解出上述微分方程得初始值的表达式，即Black-Scholes期权定价公式：看涨期权看跌期权其中是累计正态分布函数，而三、风险中性定价在上述随机微分方程和附加条件中都不含有（即连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的预期收益率）说明投资者的风险偏好并不影响期权的价格。可以用风险中性来定价是Black-Scholes开创的期权定价理论的重大突破。在“风险中性”的世界里，所有的市场参与者都是风险中性的，他们对于有风险资产的收益，都不需要风险的补偿。因此，所有资产的预期收益率都相等，即都等于无风险收益率rf。为了更一般起见，假设现在的时刻是t，则有如下关系：⒀其中E*表示采用风险中性概率求期望。应该注意的是，在将真实世界转移到风险中性世界中是，并没有改变标的物股票价格运动和变化的方式，因此，在风险中性世界里，股票价格仍然服从对数正态分布，且波动率保持不变，但不同，在此将其记为。（一）Black-Scholes公式的推导由方程⑼可知，在风险中性世界里，关系式改成：，又因为方程⒀有（即为风险中性世界里连续计算收益的资产在单位时间内收益的自然对数的预期收益率）在风险中性世界里，未来带有不确定性的现金流的数学期望用无风险利率折现后的限制就是均衡定价，则买入期权的定价为：2Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇⒁记为风险中性概率的密度函数，就可把⒁写成：由于股票价格仍然服从对数正态分布，因此，～令则z～N(0,1)，其概率密度函数为：将上述对S(T)的积分转化为对z的积分：⒂其中此处；另外故方程（15）化简为：3Project4-BS公式学习笔记吴凯财李佳袁鄂飞宇其中这就是Black-Scholes随机微分方程的解。因为问题本身与投资者的风险偏好无关，所以在风险中性世界里的解也就是真实世界里的解。（二）Black-Scholes公式的解释⑴是在风险中性世界中期权被执行的概率，或者说S(T)大于X的概率，是X的风险中性期望值的现值。是得到S(T)的风险中性...