二阶线性微分方程解的结构

第六节二阶线性微分方程解的结构内容分布图示★二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的性质★定理1★函数的线性相关与线性无关★定理2★定理3★定理4★定理5★例1★解线性微分方程的降阶法★例2★常数变易法★例3★线性微分方程的解法小结★例4★内容小结★课堂练习★习题12—6★返回内容要点:一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是,(6.1)其中、及是自变量的已知函数,函数称为方程(6.1)的自由项.当时,方程(6.1)成为,(6.2)这个方程称为二阶齐次线性微分方程,相应地,方程(6.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1如果函数与是方程(6.2)的两个解,则(6.3)也是方程(6.2)的解,其中是任意常数.定理2如果与是方程(6.2)的两个线性无关的特解,则就是方程(6.2)的通解,其中是任意常数.定理3设是方程(6.1)的一个特解,而是其对应的齐次方程(6.2)的通解,则(6.4)就是二阶非齐次线性微分方程(6.1)的通解.定理4设与分别是方程与的特解,则是方程(6.5)的特解.定理5设是方程(6.6)的解,其中为实值函数,为纯虚数.则与分别是方程与的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程,要求其解一般是很困难的.这里我们介绍处理这类方程的两种方法.一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法;另一种是在求出对应齐次方程的通解后,通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程,如果已知其一个非零特解,作变量替换,就可将其降为一阶齐次线性方程,从而求得通解.并有下列刘维尔公式三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时,我们曾对其对应的齐次方程的通解,利用常数变易法求得非齐次方程的通解.这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程(6.10)其中在某区间上连续,如果其对应的齐次方程的通解已经求得,那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(6.10)具有形如(6.11)的特解,其中是两个待定函数,将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲:例1已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解:(1)求此方程的通解;(2)写出此微分方程;(3)求此微分方程满足的特解.降阶法例2(讲义例1)已知是方程的一个解,试求方程的通解.常数变易法例3(讲义例2)求方程的通解.例4(讲义例3)求方程的通解.课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?2.给出n阶线性微分方程的n个解,问能否写出这个微分方程及其通解?3.已知是齐次方程的解,求非齐次方程的通解.

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