18.2特殊的平行四边形18.2.1矩形知能演练提升能力提升1.下列命题错误的是()A.对角线相等且互相平分的四边形是矩形B.矩形的每条对角线分矩形所得的三角形都全等C.对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D.四个角都相等的四边形是矩形2.如图所示,A,B,C分别表示三个村庄,AB=1000m,BC=600m,AC=800m,在新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在()矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点3.如图,∠AOB=90°,∠AOB内的任意一点P到这个角两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。4.如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3cm,EF=4cm,则边AD的长是cm.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD=5cm,则EF=cm.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。(第4题图)(第5题图)6.如图,已知在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。7.如图,在平行四边形ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)当BC与AF满足什么数量关系时,四边形ABFC是矩形,并说明理由.8.如图,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,H,G,F,连接EG,FH.求证:EG=FH.创新应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是▱ABCD外一点,且∠AEC=∠BED=90°.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。求证:▱ABCD是矩形.★10.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE,AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。参考答案能力提升1.C2.A由勾股定理的逆定理可知,这是一个直角三角形,到三个顶点距离相等的点是斜边的中点.3.12由有三个角是直角的四边形是矩形,得该四边形是矩形.所以该四边形的周长为2×6=12.4.5折叠前后的三角形是全等图形,所以四边形EFGH是矩形,AD=HF,HF==5(cm).5.5因为△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,所以CD=AB.AB=2CD=10cm.又因为EF是△ABC的中位线,所以EF=AB=×10=5(cm).6.解在Rt△AEF和Rt△DCE中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.又∠FAE=∠EDC=90°,EF=EC,∴Rt△AEF≌Rt△DCE.∴AE=CD,AD=AE+4.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AE+AE+4)=32,解得AE=6(cm).7.(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE.∵E为BC的中点,∴EB=EC.∴△ABE≌△FCE.∴AB=CF.(2)解当BC=AF时,四边形ABFC是矩形.理由如下:∵AB∥CF,AB=CF,∴四边形ABFC是平行四边形.∵BC=AF,∴四边形ABFC是矩形.8.分析要证对角线EG=FH,只需证四边形EHGF是矩形.由已知条件可得∠EFG=∠AFB=90°,同理四边形EHGF的其余三角也为直角,因此四边形EHGF是矩形.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AF,BF分别平分∠DAB,∠ABC,∴∠FAB=∠DAB,∠FBA=∠ABC.∴∠FAB+∠FBA=×180°=90°.∴∠EFG=∠AFB=90°.同理,四边形EHGF的其余三角也为直角.∴四边形EHGF是矩形,∴EG=FH.创新应用9.证明连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.∵∠AEC=∠BED=90°,∴OE=AC=BD.∴AC=BD.∴▱ABCD是矩形.10.分析当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.由于CE平分∠BCA,那么有∠1=∠2,而MN∥BC,利用平行线的性质有∠1=∠3,等量代换有∠2=∠3,于是有OE=OC,同理OC=OF.于是OE=OF,而OA=OC,那么可证四边形AECF是平行四边形.又CE,CF分别是∠BCA及其外角的平分线,易证∠ECF=90°,从而可证四边形AECF是矩形.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.证明过程如下:∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.又MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠3=∠2,∴EO=CO.同理,FO=CO.∴EO=FO.又OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.∵∠1=∠2,∠4=∠5,∴∠1+∠5=∠2+∠4.∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.∴四边形AECF是矩形.